Question

如圖展示了一個(gè)區(qū)間（0，k）（k是一個(gè)給定的正實(shí)數(shù)）到實(shí)數(shù)集R的對(duì)應(yīng)過程：區(qū)間（0，k）中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)線段AB上的點(diǎn)M，如圖1；將線段AB彎成半圓弧，圓心為H，如圖2；再將這個(gè)半圓置于直角坐標(biāo)系中，使得圓心H坐標(biāo)為（0，1），直徑AB平行x軸，如圖3；在圖形變化過程中，圖1中線段AM的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)于圖3中的圓弧AM的長(zhǎng)度，直線HM與直線y=-1相交與點(diǎn)N（n，-1），則與實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)就是n，記作n=f（m）．給出下列命題：
（1）f（

k

4

）=6；
（2）函數(shù)n=f（m）是奇函數(shù)；
（3）n=f（m）是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)；
（4）n=f（m）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

k

2

，0）對(duì)稱；
（5）方程f（m）=2的解是m=

3

4

k．
其中正確命題序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，首先明確對(duì)應(yīng)關(guān)系，m變對(duì)應(yīng)著MH的傾斜角的變，從而求出n；從而對(duì)命題依次判斷．

解答： 解：（1）當(dāng)m=

k

4

時(shí)，弧AM=

1

4

弧AB；
故可知HM的傾斜角為45°；
故直線HM的方程為y=x+1，
令y=-1得，x=-2；
故f（

k

4

）=2；故不正確；
（2）函數(shù)n=f（m）的定義域?yàn)椋?，k），故不可能是奇函數(shù)，故不正確；
（3）由題意知，當(dāng)m變大時(shí)，直線HM與y=-1的交點(diǎn)向右移動(dòng)，
即n也在變大，故n=f（m）是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)；故正確；
（4）當(dāng)m=

k

2

時(shí)，易知n=0；
當(dāng)m≠

k

2

時(shí)，直線HM的傾斜角θ=

m

k

π，
故直線HM的方程為y=xtan

m

k

π+1，
令y=-1得，x=-

2

tan m k π

；
故n=-

2

tan m k π

；即點(diǎn)（m，-

2

tan m k π

）在n=f（m）的圖象上，
m關(guān)于

k

2

對(duì)稱的數(shù)是k-m，此時(shí)直線HM的傾斜角為π-

m

k

π；
直線HM的方程為y=xtan（π-

m

k

π）+1=-xtan

m

k

π+1；
令y=-1得，x=

2

tan m k π

，
故n=

2

tan m k π

；
故點(diǎn)（k-m，

2

tan m k π

）在n=f（m）的圖象上；
故n=f（m）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

k

2

，0）對(duì)稱；故正確；
（5）由f（m）=2得，直線HM過點(diǎn)（0，1），（2，-1）；
故直線HM的斜率為-1；
故直線HM的傾斜角為

3

4

π；
即

m

k

π=

3

4

π；故m=

3

4

k．
故正確；
故答案為：（3），（4），（5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生對(duì)于新定義的接受能力，同時(shí)考查了映射的變形應(yīng)用，屬于難題．