Question

一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，公比為q，|q|＜1，前兩項(xiàng)之和為

1

2

，且所有奇數(shù)項(xiàng)和比所有偶數(shù)項(xiàng)和大2，求公比q和首項(xiàng)a．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由前兩項(xiàng)之和為

1

2

列出一個(gè)方程，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和分別求出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和后，作差后取極限列出一個(gè)方程，聯(lián)立兩個(gè)方程求得等比數(shù)列的公比和首項(xiàng)．

解答： 解：∵前兩項(xiàng)之和為

1

2

，
∴a+aq=

1

2

，①
∵所有奇數(shù)項(xiàng)和比所有偶數(shù)項(xiàng)和大2，|q|＜1，
∴

lim

n→∞

a(1-q2n)

1-q2

-

lim

n→∞

aq(1-q2n)

1-q2

=

a

1-q2

-

aq

1-q2

=2，②
由①②解得，

a=1 q=- 1 2

或

a=-1 q=- 3 2

舍去，
所以公比q為-

1

2

、首項(xiàng)a為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和、通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列的極限及求法，是中檔題．