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20.在△ABC中,若$A=\frac{π}{3},tanB=\frac{1}{2},AB=2\sqrt{3}+1$,則BC=$\sqrt{15}$.

分析 由tanB的值大于0,且B為三角形的內角,根據同角三角函數間的基本關系求出sinB的值,再由C=π-(A+B),利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數公式化簡sjnC,利用正弦定理即可求出BC的長.

解答 解:∵tanB=$\frac{1}{2}$>0,且B為三角形的內角,
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\sqrt{1-\frac{1}{1+ta{n}^{2}B}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
∴sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{15}+\sqrt{5}}{10}$,
又AB=$2\sqrt{3}+1$,
∴根據正弦定理$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}$得:BC=$\frac{ABsinA}{sinC}$=$\frac{(2\sqrt{3}+1)×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2\sqrt{15}+\sqrt{5}}{10}}$=$\sqrt{15}$.
故答案為:$\sqrt{15}$.

點評 此題考查了同角三角函數間的基本關系,兩角和與差的正弦函數公式,誘導公式,以及正弦定理,熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵.

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