Question

如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，離心率e=

2

2

，一條準(zhǔn)線的方程為x=2

2

．
（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)動點(diǎn)P滿足

OP

=

OM

+2

ON

，其中M，N是橢圓上的點(diǎn)．直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

．
問：是否存在兩個定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，使得|PF₁|+|PF₂|為定值．若存在，求F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率和準(zhǔn)線方程求得a和c，則b可得，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）設(shè)出P，M，N的坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)等式建立等式，把M，N代入橢圓方程，整理求得x²+2y²20+4（x₁x₂+2y₁y₂），設(shè)出直線OM，ON的斜率，利用題意可求得x₁x₂+2y₁y₂=0，進(jìn)而求得x²+2y²的值，利用橢圓的定義可推斷出|PF₁|+|PF₂|為定值求得c，則兩焦點(diǎn)坐標(biāo)可得．

解答：解：（Ⅰ）由e=

c

a

=

2

2

，

a2

c

=2

2

，求得a=2，c=

2

∴b=

4-2

=

2

∴橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

2

=1
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則由

OP

=

OM

+2

ON

，得（x，y）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），
即x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，
∵點(diǎn)M，N在橢圓上，所以

x 12

4

+

y 12

2

=1，

x 22

4

+

y 22

2

=1
故x²+2y²=（x₁²+4x₂²+4x₁x₂）+2（y₁²+4y₂²+4y₁y₂）=20+4（x₁x₂+2y₁y₂）
設(shè)k_0M，k_ON分別為直線OM，ON的斜率，根據(jù)題意可知k_0Mk_ON=-

1

2

∴x₁x₂+2y₁y₂=0
∴x²+2y²=20
所以P在橢圓

x2

20

+

y2

10

=1上；
設(shè)該橢圓的左，右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，由橢圓的定義可推斷出|PF₁|+|PF₂|為定值，因?yàn)閏=

10

，則這兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)是（-

10

，0）（

10

，0）

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．