Question

有4個不同的球，把球全部放入4個不同的盒子內(nèi)，
（1）共有多少種放法？
（2）若恰有1個盒子不放球，有多少種放法？
（3）若恰有2個盒子不放球，有多少種放法？

Answer 1

考點：排列、組合的實際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,排列組合

分析：（1）直接利用分步計數(shù)原理求解即可．
（2）“恰有一個盒內(nèi)放2球”與“恰有一個盒子不放球”是一回事，通過小球分組然后求解即可．
（3）四個不同的球全部放入4個不同的盒子內(nèi)，恰有兩個盒子不放球的不同放法的求法，分為兩步來求解，先把四個球分為兩組，再取兩個盒子，作全排列，由于四個球分兩組有兩種分法，一種是2，2，另一種是3，1，故此題分為兩類來求解，再求出它們的和．

解答： 解：：（1）一個球一個球地放到盒子里去，每只球都可有4種獨立的放法，由分步乘法計數(shù)原理，放法共有：4⁴=256種．
（2）“恰有一個盒內(nèi)放2球”與“恰有一個盒子不放球”是一回事．
選擇一個盒子放2個球，有

C

1 4

C

2 4

，選擇2個盒子各放一個球的方法數(shù)：

A

2 3

，
共有方法數(shù)：

C

1 4

C

2 4

A

2 3

=144種放法．
（3）四個球分為兩組有兩種分法，（2，2），（3，1）
若兩組每組有兩個球，不同的分法有

C 2 4

A 2 2

=3種，恰有兩個盒子不放球的不同放法是3×A₄²=36種，
若兩組一組為3，一組為1個球，不同分法有C₄³=4種恰有兩個盒子不放球的不同放法是4×A₄²=48種，
綜上恰有兩個盒子不放球的不同放法是36+48=84種．

點評：本題考查簡單計數(shù)原理與排列組合的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，（3）解題的關(guān)鍵是理解事件“四個不同的球全部放入4個不同的盒子內(nèi)，恰有兩個盒子不放球”，宜先將四個球分為兩組，再放入，分步求不同的放法種數(shù)．