Question

已知二次函數(shù)，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，
（1）求f（x）
（2）利用單調(diào)性的定義證明f（x）在x∈（1，2）為單調(diào)遞增函數(shù)．
（3）求f（x）在區(qū)間x∈（t，t+1）上的最值．

Answer 1

分析：（1）待定系數(shù)法：設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=0可得c值，由f（x+1）=f（x）+x+1可得關(guān)于a，b的方程組，解出即可；
（2）設(shè)1＜x₁＜x₂＜2，根據(jù)增函數(shù)的定義只需證明f（x₁）＜f（x₂），通過(guò)作差即可證明；
（3）根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分三種情況討論：①若t+1≤-

1

2

，②若t＜-

1

2

＜t+1，③若t≥-

1

2

，借助圖象即可求得最值；

解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，
由f（0）=0，得c=0，f（x+1）=f（x）+x+1，即a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+bx+c+x+1，
也即ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+1）x+1，
所以有

2a+b=b+1 a+b=1

，解得

a= 1 2 b= 1 2

，
所以f(x)=

1

2

x2+

1

2

x．
（2）設(shè)1＜x₁＜x₂＜2，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

2

(x1-x2)(x1+x2-1)，
∵1＜x₁＜x₂＜2，∴x₁-x₂0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（1，2）上為增函數(shù)；
（3）①若t+1≤-

1

2

，即t≤-

3

2

，f_max（x）=f（t）=

1

2

t2+

1

2

t取不到，f_min（x）=f（t+1）=

1

2

t2+

3

2

t+1取不到；
②若t＜-

1

2

＜t+1即-

3

2

＜t＜-

1

2

，d1=-

1

2

-t，d2=t+

3

2

，
當(dāng)d₁≥d₂即t≤-1時(shí)，f_max（x）=f（t）=

1

2

t2+

1

2

t取不到，f_min（x）=f（-

1

2

）=-

1

8

，
當(dāng)d₁＜d₂即t＞-1時(shí)，f_max（x）=f（t+1）=

1

2

t2+

3

2

t+1取不到，fmin(x)=f(-

1

2

)=-

1

8

；
③若t≥-

1

2

，f_max（x）=f（t+1）=

1

2

t2+

3

2

t+1取不到，fmin(x)=f(t)=

1

2

t2+

1

2

t取不到．
綜上，當(dāng)t≤-

3

2

或t≥

1

2

時(shí)，f（x）沒(méi)最大值也沒(méi)最小值，當(dāng)-

3

2

＜t＜-

1

2

時(shí)，最小值為-

1

8

，無(wú)最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)解析式的求法、二次函數(shù)單調(diào)性的證明及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題，深刻理解“三個(gè)二次”間的關(guān)系是解決二次函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵．