【題目】已知拋物線,過(guò)的直線與拋物線C交于兩點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,拋物線C兩點(diǎn)處的切線相互垂直.

1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)若點(diǎn)P為拋物線C上異于的點(diǎn),直線均不與軸平行,且直線APBP交拋物線C的準(zhǔn)線分別于兩點(diǎn),.

i)求直線的斜率;

(ⅱ)求的最小值.

【答案】1;(2)(i;(ⅱ)4.

【解析】

1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求得處切線的斜率,再根據(jù)斜率相乘為,可得的值,即可得答案;

2)(i)根據(jù)可得點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系,再結(jié)合韋達(dá)定理,可求得斜率;

ii)由(i)易知,設(shè),則,再分別求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)用表示,利用換元法可求得的最值.

1)設(shè).

拋物線C的方程可化為.

拋物線C兩點(diǎn)處的切線的斜率分別為.

由題可知直線l的斜率存在,故可設(shè)直線1的方程為,

聯(lián)立,消去y可得,

.

,解得.

∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為;

2)(i)由(1)可得

,可得,

又點(diǎn)A在第一象限,解得.

∴直線AB的斜率為;

ii)由(i)易知.

設(shè),則.

由題可知,故.

∴直線AP的斜率,同理可得.

∴直線,當(dāng)時(shí),.

直線,當(dāng)時(shí),.

.

,

當(dāng)且僅當(dāng),即,也即時(shí),取得最小值4.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)若函數(shù)處的切線方程為,求實(shí)數(shù),的值;

(2)若函數(shù)兩處取得極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)在(2)的條件下,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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1)證明:平面PAC⊥平面ABC

2)若點(diǎn)M為棱PA上一點(diǎn)且,求二面角PBCM的余弦值.

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【題目】為了解某地網(wǎng)民瀏覽購(gòu)物網(wǎng)站的情況,從該地隨機(jī)抽取100名網(wǎng)民進(jìn)行調(diào)查,其中男性、女性人數(shù)分別為4555.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的網(wǎng)民日均瀏覽購(gòu)物網(wǎng)站時(shí)間的頻率分布直方圖,將日均瀏覽購(gòu)物網(wǎng)站時(shí)間不低于40分鐘的網(wǎng)民稱為“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”,已知“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”中女性有10.

1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為是否為“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”與性別有關(guān);

非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人

網(wǎng)購(gòu)達(dá)人

總計(jì)

10

總計(jì)

2)將上述調(diào)査所得到的頻率視為概率,現(xiàn)在從該地的網(wǎng)民中隨機(jī)抽取3名,記被抽取的3名網(wǎng)民中的“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”的人數(shù)為X,求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.

參考公式:,其中.

參考數(shù)據(jù):

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)求證:函數(shù)有唯一零點(diǎn);

(2)若對(duì)任意,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線,一段科赫曲線可以通過(guò)下列操作步驟構(gòu)造得到,任畫一條線段,然后把它均分成三等分,以中間一段為邊向外作正三角形,并把中間一段去掉,這樣,原來(lái)的一條線段就變成了4條小線段構(gòu)成的折線,稱為“一次構(gòu)造”;用同樣的方法把每條小線段重復(fù)上述步驟,得到16條更小的線段構(gòu)成的折線,稱為“二次構(gòu)造”,…,如此進(jìn)行“次構(gòu)造”,就可以得到一條科赫曲線.若要在構(gòu)造過(guò)程中使得到的折線的長(zhǎng)度達(dá)到初始線段的1000倍,則至少需要通過(guò)構(gòu)造的次數(shù)是( .(取,

A.16B.17C.24D.25

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

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(Ⅰ)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為,若直線l與曲線C分別相交于A,B兩點(diǎn),求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)當(dāng)時(shí),證明:;

2)若只有一個(gè)零點(diǎn),求.

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