Question

已知函數(shù)f（x）=a|log₂x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=

f(x)，x＞0 f(-x)，x＜0

，給出下列命題：
①F（x）=|f（x）|；
②函數(shù)F（x）是偶函數(shù)；
③當a＜0時，若0＜m＜n＜1，則有F（m）-F（n）＜0成立；
④當a＞0時，函數(shù)y=F（x）-2有4個零點．
其中正確命題的個數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）|f（x）|=|a|log₂x|+1|，∴F（x）≠|(zhì)f（x）|；①不對：（2）F（-x）=

f(-x)，x＜0 f(x)，x＞0

=F（x），函數(shù)F（x）是偶函數(shù)；故②正確
（3）|log₂m|＞|log₂n|，a|log₂m|+1＞a|log₂n|+1，即F（m）＜F（n）成立；故F（m）-F（n）＜0成立；所以③正確
（4）x＞0時，F(xiàn)（x）的最小值為F（1）=1，運用圖象判斷即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=a|log₂x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=

f(x)，x＞0 f(-x)，x＜0

，
∴|f（x）|=|a|log₂x|+1|，∴F（x）≠|(zhì)f（x）|；
①不對
（2）∵F（-x）=

f(-x)，x＜0 f(x)，x＞0

=F（x）
∴函數(shù)F（x）是偶函數(shù)；
故②正確
（3）∵當a＜0時，若0＜m＜n＜1，
∴|log₂m|＞|log₂n|
∴a|log₂m|+1＞a|log₂n|+1，
即F（m）＜F（n）成立；
故F（m）-F（n）＜0成立；
所以③正確
（4）

∵f（x）=a|log₂x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=

f(x)，x＞0 f(-x)，x＜0

，
∴x＞0時，（0，1）單調(diào)遞減，（1，+∞）單調(diào)遞增
∴x＞0時，F(xiàn)（x）的最小值為F（1）=1，
故x＞0時，F(xiàn)（x）與y=-2有2個交點，
∵函數(shù)F（x）是偶函數(shù)
∴x＜0時，F(xiàn)（x）與y=-2有2個交點
故當a＞0時，函數(shù)y=F（x）-2有4個零點．
所以④正確，

點評：本題綜合考察了函數(shù)的性質(zhì)，運用圖象解決問題，對于函數(shù)式子與性質(zhì)的結(jié)合，關(guān)鍵是理解，有一定的難度．