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16.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-\frac{π}{2}<φ<0)圖象的相鄰對稱軸之間的距離為\frac{π}{2},且該函數(shù)圖象的一個最高點為(\frac{5π}{12},4).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式和單調增區(qū)間;
(2)若f(x0)=2(x0∈(0,2π)),求x0的取值集合;
(3)若對區(qū)間[\frac{π}{4},\frac{π}{2}]內的任意實數(shù)x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|<m成立,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)對稱軸的距離得出周期,由最大值得出A,代入最高點坐標解出φ;
(2)根據(jù)正弦函數(shù)的性質得出2x0-\frac{π}{3}的值,結合x0的范圍解出x0
(3)求出f(x)在[\frac{π}{4},\frac{π}{2}]上最大值與最小的差即可.

解答 解:(1)∵f(x)的相鄰對稱軸之間的距離為\frac{π}{2},
∴f(x)的周期T=\frac{2π}{ω}=π,∴ω=2.
∵f(x)的最高點縱坐標為4,∴A=4.
∵f(\frac{5π}{12})=4,∴4sin(\frac{5π}{6}+φ)=4,
\frac{5π}{6}+φ=\frac{π}{2}+2kπ,∵-\frac{π}{2}<φ<0,∴φ=-\frac{π}{3}
∴f(x)=4sin(2x-\frac{π}{3}).
令-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ,解得-\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{5π}{12}+kπ
∴f(x)的單調增區(qū)間是[-\frac{π}{12}+kπ,\frac{5π}{12}+kπ],k∈Z.
(2)∵f(x0)=4sin(2x0-\frac{π}{3})=2,∴sin(2x0-\frac{π}{3})=\frac{1}{2}
∴2x0-\frac{π}{3}=\frac{π}{6}+2kπ或2x0-\frac{π}{3}=\frac{5π}{6}+2kπ.即x0=\frac{π}{4}+kπ或x0=\frac{7π}{12}+kπ
∵x0∈(0,2π)),
∴x0的取值集合為{\frac{π}{4},\frac{7}{12}\frac{5π}{4},\frac{19π}{12}}.
(3)∵x∈[\frac{π}{4}\frac{π}{2}],∴2x-\frac{π}{3}∈[\frac{π}{6},\frac{2π}{3}].
∴當2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{6}時f(x)取得最小值2,當2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}時f(x)取得最大值4.
∴對區(qū)間[\frac{π}{4},\frac{π}{2}]內的任意實數(shù)x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤2.
∴m的取值范圍是(2,+∞).

點評 本題考查了三角函數(shù)的解析式和性質,屬于中檔題.

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