【題目】如圖,已知橢圓 的長軸,長為4,過橢圓的右焦點作斜率為()的直線交橢圓于、兩點,直線,的斜率之積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線,直線,分別與相交于、兩點,設為線段的中點,求證:.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】
(1)由長軸長為4可得a,設出點B,C的坐標,利用斜率之積為,可得,即可得到b2,可得橢圓方程;
(2)設直線BC的方程為:y=k(x﹣1)與橢圓方程聯(lián)立,得到根與系數(shù)的關系,直線的方程為:y(x+2)與x=4聯(lián)立,可得點M,N的坐標,可得線段MN的中點E.利用根與系數(shù)的關系及其斜率計算公式可得,只要證明1即可.
(1)設,,因點在橢圓上,所以,
故.又,,
所以,即,又,所以
故橢圓的方程為.
(2)設直線的方程為:,,,
聯(lián)立方程組,消去并整理得,
,則,.
直線的方程為,令得,
同理,;
所以,
代入化簡得,即點,又,
所以,所以.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國2019年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來引發(fā)了社會的廣泛關注,受到了觀眾的普遍好評.假設男性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為,女性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為.某機構(gòu)就《流浪地球》是否好看的問題隨機采訪了4名觀眾(其中2男2女).
(1)求這4名觀眾中女性認為好看的人數(shù)比男性認為好看的人數(shù)多的概率;
(2)設表示這4名觀眾中認為《流浪地球》好看的人數(shù),求的分布列與數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(I)若,判斷上的單調(diào)性;
(Ⅱ)求函數(shù)上的最小值;
(III)當時,是否存在正整數(shù)n,使恒成立?若存在,求出n的最大值;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥AB,PA⊥AD.
(Ⅰ)求證:PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)已知PA=AD,點E在PD上,且PE:ED=2:1.
(ⅰ)若點F在棱PA上,且PF:FA=2:1,求證:EF∥平面ABCD;
(ⅱ)求二面角D﹣AC﹣E的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解某校高一1000名學生的物理成績,隨機抽查了部分學生的期中考試成績,將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計該校高一學生物理成績不低于80分的人數(shù);
(2)若在本次考試中,規(guī)定物理成績在m分以上(包括m分)的為優(yōu)秀,該校學生物理成績的優(yōu)秀率大約為18%,求m的值.
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【題目】已知橢圓過點,且短軸長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點作軸的垂線,設點為第四象限內(nèi)一點且在橢圓上(點不在直線上),點關于的對稱點為,直線與橢圓交于另一點.設為坐標原點,判斷直線與直線的位置關系,并說明理由.
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【題目】已知動點到點的距離與點到直線的距離的比值為.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)設為軌跡與軸正半軸的交點,上是否存在兩點,使得是以為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,請說明滿足條件的的個數(shù);若不存在,請說明理由.
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