Question

對于兩個定義域相同的函數(shù)f（x）、g（x），如果存在實數(shù)m、n使得h（x）=m•f（x）+n•g（x），則稱函數(shù)h（x）是由“基函數(shù)f（x）、g（x）”生成的．
（1）若f（x）=x²+x和g（x）=x+2生成一個偶函數(shù)h（x），求h（

2

）的值；
（2）若h（x）=2x²+3x-1由函數(shù)f（x）=x²+ax，g（x）=x+b（a，b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范圍；
（3）如果給定實系數(shù)基函數(shù)f（x）=k₁x+b₁，g（x）=k₂x+b₂（k₁k₂≠0），問：任意一個一次函數(shù)h（x）是否都可以由它們生成？請給出你的結(jié)論并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先用待定系數(shù)法表示出偶函數(shù)h（x），再根據(jù)其是偶函數(shù)這一性質(zhì)得到引入?yún)��?shù)的方程，求出參數(shù)的值，即得函數(shù)的解析式，代入自變量求值即可．
（2）先用待定系數(shù)法表示出偶函數(shù)h（x），再根據(jù)同一性建立引入?yún)��?shù)的方程求參數(shù)，然后再求a+2b的取值范圍；
（3）設(shè)任意一個一次函數(shù)h（x）=kx+h，且k≠0，假設(shè)h（x）=mf（x）+ng（x），解得 m=

k+m•b1•k 2-hk 2

k1b 2

，n=

k•b1•k 2+m b12 k 2

k1b2 2

，從而可得問題的結(jié)論是肯定的．

解答：解：（1）設(shè)h（x）=m（x²+x）+n（x+2）=mx² +（m+n）x+2n，
∵h（x）是偶函數(shù)，∴m+n=0，∴h（

2

）=2m+2n=0．
（2）設(shè)h（x）=2x²+3x-1=m（x²+ax）+n（x+b）=mx²+（am+n）x+nb，
∴

m=2 am+n=3 nb=-1

，解得

a= 3-n 2 b=- 1 n

，
∴a+2b=

3-n

2

-

2

n

=

3

2

-

n

2

-

2

n

．
由ab≠0知，n≠3，
∴a+2b∈（-∞，-

1

2

）∪（

7

2

，+∞）．
（3）如果給定實系數(shù)基函數(shù)f（x）=k₁x+b₁，g（x）=k₂x+b₂（k₁k₂≠0），則任意一個一次函數(shù)h（x）都可以由它們生成．
證明：設(shè)任意一個一次函數(shù)h（x）=kx+h，且k≠0，
假設(shè)h（x）=mf（x）+ng（x），則有 kx+h=mk₁x+mb₁ +nk₂x+nb₂，解得 m=

k+m•b1•k 2-hk 2

k1b 2

，n=

k•b1•k 2+m b12 k 2

k1b2 2

．
這說明，無論給任何一個一次函數(shù) h（x）=kx+b，都可以用基函數(shù)f（x）=k₁x+b₁，g（x）=k₂x+b₂（k₁k₂≠0）來表示，問題得證．

點評：本題考點是函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性綜合，考查了利用偶函數(shù)建立方程求參數(shù)以及利用同一性建立方程求參數(shù)，本題涉及到函數(shù)的性質(zhì)較多，綜合性，抽象性很強，做題時要做到每一步變化嚴謹，才能保證正確解答本題，屬于中檔題．