精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓C的方程為x2+
y2
2
=1
,點(diǎn)P(a,b)的坐標(biāo)滿足a2+
b2
2
≤1
,過(guò)點(diǎn)P的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn),求:
(1)點(diǎn)Q的軌跡方程;
(2)點(diǎn)Q的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).
分析:(1)先把A、B兩點(diǎn)和點(diǎn)Q的坐標(biāo)設(shè)出來(lái),再分A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等和不相等兩種情況分別設(shè)出直線l的方程,再利用A、B兩點(diǎn)既在直線上又在橢圓C上,可以找到A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,最后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,就可求點(diǎn)Q的軌跡方程(注意要反過(guò)來(lái)檢驗(yàn)所求軌跡方程是否滿足已知條件);
(2)先找到曲線L與y軸的交點(diǎn)(0,0),(0,b)以及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)(0,0),(a,0),再對(duì)a和b的取值分別討論,分析出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)(注意點(diǎn)P(a,b)的坐標(biāo)滿足a2+
b2
2
≤1
).
解答:解:(1)設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q(x,y).當(dāng)x1≠x2時(shí),設(shè)直線l的斜率為k,則l的方程為y=k(x-a)+b
由已知
x
2
1
+
y
2
1
2
=1,
x
2
2
+
y
2
2
2
=1

y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b②
由①得(x1+x2)(x1-x2)+
1
2
(y1+y2)(y1-y2)=0

由②得y1+y2=k(x1+x2)-2ak+2b④
由③④及x=
x1+x2
2
,y=
y1+y2
2
k=
y1-y2
x1-x2
,
得點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程2x2+y2-2ax-by=0⑤
當(dāng)x1=x2時(shí),k不存在,此時(shí)l平行于y軸,因此AB的中點(diǎn)Q一定落在x軸上,即Q的坐標(biāo)為(a,0).
顯然點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程⑤
綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程2x2+y2-2ax-by=0.
設(shè)方程⑤所表示的曲線為L(zhǎng),
則由
2x2+y2-2ax-by=0
x2+
y2
2
=1

得(2a2+b2)x2-4ax+2-b2=0.
因?yàn)?span id="h0gqblb" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">△=8b2(a2+
b2
2
-1),由已知a2+
b2
2
≤1

所以當(dāng)a2+
b2
2
=1
時(shí),△=0,曲線L與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P(a,b).
當(dāng)a2+
b2
2
<1
時(shí),△<0,曲線L與橢圓C沒(méi)有交點(diǎn).
因?yàn)椋?,0)在橢圓C內(nèi),又在曲線L上,所以曲線L在橢圓C內(nèi).
故點(diǎn)Q的軌跡方程為2x2+y2-2ax-by=0
(2)由
2x2+y2-2ax-by=0
x=0
解得曲線L與y軸交于點(diǎn)(0,0),(0,b).
2x2+y2-2ax-by=0
y=0
解得曲線L與x軸交于點(diǎn)(0,0),(a,0)
當(dāng)a=0,b=0,即點(diǎn)P(a,b)為原點(diǎn)時(shí),(a,0)、(0,b)與(0,0)重點(diǎn),曲線L與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)(0,0).
當(dāng)a=0且0<|b|≤
2
,即點(diǎn)P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的y軸上時(shí),點(diǎn)(a,0)與(0,0)重合,曲線L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)(0,b)與(0,0).
同理,當(dāng)b=0且0<|a|≤1,即點(diǎn)P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的x軸上時(shí),曲線L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)(a,0)與(0,0).
當(dāng)0<|a|<1且0<|b|<
2(1-a2)
,即點(diǎn)P(a,b)在橢圓C內(nèi)且不在坐標(biāo)軸上時(shí),曲線L與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)(a,0)、(0,b)與(0,0).
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及軌跡方程問(wèn)題.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,由于集中交匯了直線,圓錐曲線兩章的知識(shí)內(nèi)容,綜合性強(qiáng),能力要求高,還涉及到函數(shù),方程,不等式,平面幾何等許多知識(shí),可以有效的考查函數(shù)與方程的思想,數(shù)形結(jié)合的思想,分類(lèi)討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸的思想,因此,這一部分內(nèi)容也成了高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓C的方程為:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),B是它的下頂點(diǎn),F(xiàn)是其右焦點(diǎn),BF的延長(zhǎng)線與橢圓及其右準(zhǔn)線分別交于P、Q兩點(diǎn),若點(diǎn)P恰好是BQ的中點(diǎn),則此橢圓的離心率是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年江蘇省揚(yáng)州市期末數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試卷(二)(解析版) 題型:填空題

如圖,已知橢圓C的方程為:(a>b>0),B是它的下頂點(diǎn),F(xiàn)是其右焦點(diǎn),BF的延長(zhǎng)線與橢圓及其右準(zhǔn)線分別交于P、Q兩點(diǎn),若點(diǎn)P恰好是BQ的中點(diǎn),則此橢圓的離心率是   

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年江蘇省蘇北四市高考數(shù)學(xué)二模試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,已知橢圓C的方程為:(a>b>0),B是它的下頂點(diǎn),F(xiàn)是其右焦點(diǎn),BF的延長(zhǎng)線與橢圓及其右準(zhǔn)線分別交于P、Q兩點(diǎn),若點(diǎn)P恰好是BQ的中點(diǎn),則此橢圓的離心率是   

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2001年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,已知橢圓C的方程為,點(diǎn)P(a,b)的坐標(biāo)滿足,過(guò)點(diǎn)P的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn),求:
(1)點(diǎn)Q的軌跡方程;
(2)點(diǎn)Q的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案