Question

【題目】已知三棱錐(如圖1)的平面展開(kāi)圖（如圖2）中，四邊形為邊長(zhǎng)等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：

（1）證明：平面平面；

（2）若點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，求二面角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，則，由此能證明平面平面（2）由，得平面，從而是直線與平面所成角，且，進(jìn)而當(dāng)最短時(shí)，即是中點(diǎn)時(shí)，最大，由平面，得，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法先求出二面角的余弦值，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系即可求出正切值.

（1 ）三棱錐(如圖1)的平面展開(kāi)圖（如圖2）中

四邊形為邊長(zhǎng)等于的正方形，和均為正三角形，

，

取中點(diǎn)，連接，

則，

且，

，

又，

平面,

平面,

平面平面

（2）由（1）知，

,

平面

是直線與平面所成角，且，

當(dāng)最短時(shí)，即是中點(diǎn)時(shí)，最大，

由平面，得，

以所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

則，

，

設(shè)平面的法向量,

則，取，得，

設(shè)平面的法向量，

則，取，得，

設(shè)二面角的平面角為，

則，

所以，

二面角的正切值為.