Question

3．若函數(shù)f（x）=ax²+20x+14（a＞0）對任意實數(shù)t，在閉區(qū)間[t-1，t+1]上總存在兩實數(shù)x₁、x₂，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥8成立，則實數(shù)a的取值范圍是[8，+∞）．

Answer 1

分析 結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)區(qū)間[t-1，t+1]的中點是對稱軸時，只要滿足[t-1，t+1]上總存在兩實數(shù)x₁，x₂，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥8成立，則對其它任何情況必成立．

解答 解：因為a＞0，所以二次函數(shù)f（x）=ax²+20x+14的圖象開口向上．

在閉區(qū)間[t-1，t+1]上總存在兩實數(shù)x₁，x₂，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥8成立，
只需t=-$\frac{10}{a}$時，f（t+1）-f（t）≥8，
即a（t+1）²+20（t+1）+14-（at²+20t+14）≥8，
即2at+a+20≥8，將t=-$\frac{10}{a}$代入得a≥8，
故答案為[8，+∞）．

點評 本題考查了利用函數(shù)的最值研究恒成立問題的思路，同時結(jié)合函數(shù)圖象分析問題是關(guān)鍵．