Question

13．已知△ABC的外接圓半徑為1，圓心為O，且$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$$+\sqrt{2}$$\overrightarrow{OC}$=0，則△ABC的面積為（　�。�

• A． 1+$\sqrt{2}$
• B． $\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$
• C． 1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由條件得$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\sqrt{2}\overrightarrow{OC}$．兩邊平方計算$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，得出∠AOB．從而得出∠AOC，∠BOC，分別計算三個小三角形的面積即可．

解答 解：∵△ABC的外接圓半徑為1，圓心為O，
∴OA=OB=OC=1．
∵$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$$+\sqrt{2}$$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\sqrt{2}\overrightarrow{OC}$．
∴${\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{OB}}^{2}+2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2{\overrightarrow{OC}}^{2}$，即1+1+2$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$．
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，即∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠BOC=135°，
∴S_△ABC=S_△AOB+S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}×1×1×sin90°$+$\frac{1}{2}×1×1×sin135°$+$\frac{1}{2}×1×1×sin135°$=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選D．

點評 本題考查了平面向量在幾何中的應用，屬于中檔題．