Question

自點(diǎn)P（-6，7）發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x²+y²-8x-6y+21=0相切．
（1）求光線l所在直線的方程；
（2）求光線從P點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程．

Answer 1

考點(diǎn)：與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程

專題：直線與圓

分析：（1）先求得P（-6，7）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑，來求反射光線方程，再根據(jù)入射光線與反射光線關(guān)于x軸對(duì)稱，求光線l所在直線方程；
（2）先求P點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)到圓心的距離，再利用勾股定理求得P點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)到切點(diǎn)的距離，即為光線從P點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程．

解答： 解：（1）根據(jù)光線的對(duì)稱性，P（-6，7）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A（-6，-7），
∴被x軸反射后的光線過A點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線方程為y+7=k（x+6），即kx-y+6k-7=0，
∵圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-4）²+（y-3）²=4，反射光線所在直線與圓相切，
∴

|4k-3+6k-7|

1+k2

=2⇒k=-

3

4

或-

4

3

．
∴反射光線所在直線方程為y+7=-

3

4

（x+6）或y+7=-

4

3

（x+6），
又入射光線與反射光線關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴光線l所在直線方程為3x-4y+46=0或4x-3y+45=0；
（2）光線從P點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程等于A點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程，
A點(diǎn)到圓心的距離為

(-6-4)2+(-7-3)2

=10

2

，
∴P點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程為

200-4

=14．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用求對(duì)稱直線解決光線問題，本題也可通過求得圓關(guān)于x軸的對(duì)稱圓，再求對(duì)稱圓的切線所在直線方程及切線長(zhǎng)來解答．