Question

12．如圖，四邊形OABC，ODEF，OGHI是三個全等的菱形，∠COD=∠FOG=$∠IOA=\frac{π}{3}$，設(shè)$\overrightarrow{OD}=\vec a，\overrightarrow{OH}=\vec b$，已知點P在各菱形邊上運動，且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$，x，y∈R，則x+y的最大值為4．

Answer 1

分析 以O(shè)為坐標(biāo)原點，GC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)菱形的邊長為2，從而求出D，H點的坐標(biāo)，這樣便可得到向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的坐標(biāo)．
再設(shè)P（X，Y），根據(jù)條件即可得出x+y的解析式，設(shè)x+y=z，X，Y的活動域是菱形的邊上，根據(jù)線性規(guī)劃的知識求出z的最大值，即求出x+y的最大值．

解答 解：如圖所示
以GC所在直線為x軸，過O且垂直于GC的直線為y軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)菱形的邊長為2，
則：D（1，$\sqrt{3}$），H（-3，-$\sqrt{3}$）；
設(shè)P（X，Y），則（X，Y）=x（1，$\sqrt{3}$）+y（-3，-$\sqrt{3}$）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{X=x-3y}\\{Y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}y}\end{array}\right.$；
∴x+y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$Y-X；
設(shè)z=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$Y-X；
∴Y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$X+$\frac{\sqrt{3}}{2}$z，$\frac{\sqrt{3}}{2}$z表示在y軸上的截距；
∴當(dāng)截距最大時，z取到最大值；
根據(jù)圖形可看出，當(dāng)直線經(jīng)過點E（0，2$\sqrt{3}$）時，截距最大；
∴2$\sqrt{3}$=0+$\frac{\sqrt{3}}{2}$z；
解得z=4；
∴x+y的最大值為4．
故答案為：4．

點評 本題考查了建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)解決向量問題的方法，解題時應(yīng)引入變量X，Y來表示x+y，從而求x+y的最值方法，是綜合性題目．