Question

3．已知△ABC的面積為S，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且$2sinC，\sqrt{sinB}，cosA$成等比數(shù)列，b=$\frac{2}{3}$a，2≤$\frac{1}{2}$c²+$\frac{3}{2}$ac≤18，則$\frac{{4{{（c+1）}^2}}}{{9\sqrt{2}S+16a}}$的最小值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由$2sinC，\sqrt{sinB}，cosA$成等比數(shù)列，可得sinB=2sinCcosA，利用正弦定理余弦定理可得：b=2c×$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，化為：c=a．可得sinB=2sinCcosA，S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}$$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-^{2}}}{2}$．由$b=\frac{2}{3}a$，可得S=$\frac{2\sqrt{2}{a}^{2}}{9}$．由$2≤\frac{1}{2}{c}^{2}+\frac{3}{2}ac≤$18，可得1≤a≤3．代入$\frac{{4{{（c+1）}^2}}}{{9\sqrt{2}S+16a}}$，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性最值即可得出．

解答 解：∵$2sinC，\sqrt{sinB}，cosA$成等比數(shù)列，
∴sinB=2sinCcosA，
∴b=2c×$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
化為：c=a．
∴sinB=2sinCcosA=2×$\frac{\sqrt{{a}^{2}-（\frac{2}）^{2}}}{a}$×$\frac{\frac{2}}{a}$=$\frac{1}{2}$$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-^{2}}}{{a}^{2}}$，
S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{b\sqrt{4{a}^{2}-^{2}}}{4}$．
∵$b=\frac{2}{3}a$，
∴S=$\frac{2\sqrt{2}{a}^{2}}{9}$．
∵$2≤\frac{1}{2}{c}^{2}+\frac{3}{2}ac≤$18，
∴2≤2a²≤18，
∴1≤a≤3．
則$\frac{{4{{（c+1）}^2}}}{{9\sqrt{2}S+16a}}$=$\frac{4（a+1）^{2}}{9\sqrt{2}×\frac{2\sqrt{2}{a}^{2}}{9}+16a}$=$\frac{（a+1）^{2}}{{a}^{2}+4a}$=1-$\frac{2a-1}{{a}^{2}+4a}$．
令f（a）=$\frac{2a-1}{{a}^{2}+4a}$，則f′（a）=$\frac{-2（a-2）（a+1）}{（{a}^{2}+4a）^{2}}$，
∵1≤a≤3．
可知：當(dāng)a=2時，f（a）取得最大值，f（2）=$\frac{1}{4}$．
∴$\frac{{4{{（c+1）}^2}}}{{9\sqrt{2}S+16a}}$的最小值為1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．