已知向量
OP1
、
OP2
、
OP3
滿足
OP1
+
OP2
+
OP3
=0,|
OP1
|=|
OP2
|=|
OP3
|=1.
求證:△P1P2P3是正三角形.
分析:法一:由|
OP1
|=|
OP2
|= |
OP3
|
=1知O是△P1P2P3的外接圓的圓心,要證△P1P2P3是正三角形,只需證∠P1OP2=∠P2OP3=∠P3OP1即可,即需求
OP1
 與
OP 2
,
OP2
OP3
OP3
OP1
的夾角,由
OP1
+
OP 2
+
OP 3
=
0
變形可出現(xiàn)數(shù)量積,進而求夾角
法二:用坐標法證明:以O(shè)點為坐標原點建立直角坐標系,設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),從而可得
OP 1
= (x1y1)   
OP 2
=(x2,y2)  , 
OP 3
=(x3,y3)
,然后由條件
OP 1
+
OP 2
+
OP
 3
0
可得
x1+x2+x3 =0
y1+y2+y3=0
結(jié)合已知條件,用坐標表示|
P 1P
 2| , |
P 2P 3
| , |
P 3P 1
|
解答:證明:
法一:∵
OP1
+
OP2
+
OP3
=0,∴
OP1
+
OP2
=-
OP3
.∴|
OP1
+
OP2
|=|-
OP3
|.
∴|
OP1
|2+|
OP2
|2+2
OP1
OP2
=|
OP3
|2
又∵|
OP1
|=|
OP2
|=|
OP3
|=1,
OP1
OP2
=-
1
2

∴|
OP1
||
OP2
|cos∠P1OP2=-
1
2
,
即∠P1OP2=120°.
同理∠P1OP3=∠P2OP3=120°.
∴△P1P2P3為等邊三角形.
法二:以O(shè)點為坐標原點建立直角坐標系,設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),
OP1
=(x1,y1),
OP2
=(x2,y2),
OP3
=(x3,y3).
OP1
+
OP2
+
OP3
=0,
x1+x2+x3=0
y1+y2+y3=0.
x1+x2=-x3
y1+y2=-y3.
,
由|
OP1
|=|
OP2
|=|
OP3
|=1,得x12+y12=x22+y22=x32+y32=1
∴2+2(x1x2+y1y2)=1
∴|
P1P2
|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2

=
x12+x22+y12+y22-2x1x2-2y1y2

=
2(1-x1x2-y1y2)
=
3

同理|
P1P3
|=
3
,|
P2P3
|=
3

∴△P1P2P3為正三角形
點評:評述:解本題的關(guān)鍵是由
OP1
+
OP2
+
OP3
=0轉(zhuǎn)化出現(xiàn)向量的數(shù)量積,進而求夾角.可以用向量式表示,也可以用坐標式表示,還考查了考生的推理論證能力.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
OP1,
OP2
,OP3
滿足
OP1
+
OP2
+
OP 3
=
0
,|
OP1
|=
|OP2|
=
|OP3|
=1
.則△P1P2P3的形狀為( 。
A、正三角形
B、鈍角三角形
C、非等邊的等腰三角形
D、直角三角形

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