Question

8．已知a=-2${∫}_{0}^{π}$sin（x+$\frac{π}{3}$）dx，求二項(xiàng)式（x²+$\frac{a}{x}$）⁵的展開式中x的系數(shù)及展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和．

Answer 1

分析 利用微積分基本定理可得a，再利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出．

解答 解：依題意，a=-2${∫}_{0}^{π}$sin（x+$\frac{π}{3}$）dx=2$cos（x+\frac{π}{3}）{|}_{0}^{π}$=2$（cos\frac{4π}{3}-cos\frac{π}{3}）$=-2，
∴二項(xiàng)式（x²+$\frac{a}{x}$）⁵=$（{x}^{5}-\frac{2}{x}）^{5}$，
展開式中x的系數(shù)及展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和．
設(shè)展開式中含x的項(xiàng)是第r+1項(xiàng)，則T_r+1=${∁}_{5}^{r}$（x²）^5-r$（-\frac{2}{x}）^{r}$=（-2）^r${∁}_{5}^{r}$x^10-3r，
令10-3r=1，則r=3．∴展開式中x的系數(shù)是：${∁}_{5}^{3}（-2）^{3}$=-80．
令x=1，則二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是（1-2）⁵=-1．

點(diǎn)評 本題考查了微積分基本定理、二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．