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13.已知函數(shù)f(x)=|2x-1|.
(Ⅰ)若不等式f(x+12)≤2m+1(m>0)的解集為[-2,2],求實數(shù)m的值;
(Ⅱ)若不等式f(x)≤2y+a2y+|2x+3|,對任意的實數(shù)x,y∈R恒成立,求實數(shù)a的最小值.

分析 (Ⅰ)由題意可得|2x|≤2m+1,(m>0),由解集為[-2,2],可得m+12=2,即可得到m的值;
(Ⅱ)原不等式即為|2x-1|-|2x+3|≤2y+a2y.運用絕對值不等式的性質(zhì)可得不等式左邊的最大值為4,利用基本不等式可解得實數(shù)a的最小值.

解答 (本題滿分為10分)
解:(Ⅰ)由題意,知不等式|2x|≤2m+1(m>0)解集為[-2,2].
由|2x|≤2m+1,得-m-12xm+12,…2分
所以,由m+12=2,解得m=32.…4分
(Ⅱ)不等式f(x)≤2y+a2y+|2x+3|等價于|2x-1|-|2x+3|≤2y+a2y
由題意知(|2x-1|-|2x+3|)max≤2y+a2y,…6分
因為|2x-1|-|2x+3|≤|(2x-1)-(2x+3)|=4,
所以2y+a2y≥4,即a≥2y(4-2y)對任意的y∈R都成立,
則a≥[2y(4-2y)]max,…8分
2y42y[2y+42y2]2=4,當且僅當2y=4-2y,即y=1時等號成立,
故a≥4,
所以實數(shù)a的最小值為4.…10分.

點評 本題考查不等式的解法,注意運用方程和不等式的轉(zhuǎn)化思想,注意運用絕對值不等式的性質(zhì)和基本不等式,考查運算能力,屬于中檔題.

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