Question

函數(shù)f（x）=log_a（x²-4ax+3a²），0＜a＜1，當(dāng)x∈[a+2，a+3]時(shí)，恒有|f（x）|≤1，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≤（x-3a）（x-a）≤

1

a

對(duì)x∈[a+2，a+3]恒成立，利用最值法，建立不等式組，從而可求a的取值范圍．

解答：解：f（x）=log_a（x²-4ax+3a²）=log_a（x-3a）（x-a）
∵|f（x）|≤1恒成立，
∴-1≤log_a（x-3a）（x-a）≤1                   …（2分）
∵0＜a＜1．
∴a≤（x-3a）（x-a）≤

1

a

對(duì)x∈[a+2，a+3]恒成立．…（5分）
令h（x）=（x-3a）（x-a），其對(duì)稱軸x=2a．
又2a＜2，2＜a+2，
∴當(dāng)x∈[a+2，a+3]時(shí)，h（x）_min=h（a+2），h（x）_max=h（a+3）．…（8分）
∴

a≤h(x)min， 1 a ≥h(x)max

∴

a≤4-4a 1 a ≥9-6a

 
∴0＜a≤

9- 57

12

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問(wèn)題，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查解不等式，考查函數(shù)的最值，正確轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．