Question

（2012•江蘇一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x+1)2+y2=1，圓C2：(x-3)2+(y-4)2=1．
（1）若過(guò)點(diǎn)C₁（-1，0）的直線l被圓C₂截得的弦長(zhǎng)為

6

5

，求直線l的方程；
（2）設(shè)動(dòng)圓C同時(shí)平分圓C₁的周長(zhǎng)、圓C₂的周長(zhǎng)．
①證明：動(dòng)圓圓心C在一條定直線上運(yùn)動(dòng)；
②動(dòng)圓C是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)過(guò)直線l方程：y=k（x+1），根據(jù)垂直于弦的直徑的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式列式，可解出k的值，從而得到直線l的方程；
（2）①由題意，圓心C到C₁、C₂兩點(diǎn)的距離相等，由此結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式建立關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理得x+y-3=0，即為所求定直線方程；
②根據(jù)題意設(shè)C（m，3-m），得到圓C方程關(guān)于參數(shù)m的一般方程形式，由此可得動(dòng)圓C經(jīng)過(guò)圓x²+y²-6y-2=0與直線x-y+1=0的交點(diǎn)，最后聯(lián)解方程組，即可得到動(dòng)圓C經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)C₁（-1，0）的直線l方程：y=k（x+1），化成一般式kx-y+k=0
∵直線l被圓C₂截得的弦長(zhǎng)為

6

5

，
∴點(diǎn)C₂（3，4）到直線l的距離為d=

|3k-4+k|

k2+1

=

1-( 3 5 )2

，
解之得k=

4

3

或

3

4

由此可得直線l的方程為：4x-3y+4=0或3x-4y+3=0．
（2）①設(shè)圓心C（x，y），由題意，得CC₁=CC₂，
即

(x+1)2+y2

=

(x-3)2+(y-4)2

，
化簡(jiǎn)整理，得x+y-3=0，
即動(dòng)圓圓心C在定直線x+y-3=0上運(yùn)動(dòng)．
②設(shè)圓C過(guò)定點(diǎn)，設(shè)C（m，3-m），
則動(dòng)圓C的半徑為

1+CC12

=

1+(m+1)2+(3-m)2

，
于是動(dòng)圓C的方程為（x-m）²+（y-3+m）²=1+（m+1）²+（3-m）²，
整理，得x²+y²-6y-2-2m（x-y+1）=0，
由

x-y+1=0 x2+y2-6y-2=0

得

x=1+ 3 2 2 y=2+ 3 2 2

或

x=1- 3 2 2 y=2- 3 2 2

所以動(dòng)圓C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，其坐標(biāo)為(1-

3

2

2

，2-

3

2

2

)，(1+

3

2

2

，2+

3

2

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題求被定圓截得定長(zhǎng)的弦所在直線方程，并探索動(dòng)圓圓心在定直線上的問(wèn)題．考查了直線與圓的方程、直線與圓和圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生運(yùn)算能力．