15.已知函數(shù)f(x)=ax-lnx.
(Ⅰ)若a≤1,證明:x≥1時(shí),x2≥f(x)恒成立;
(Ⅱ)當(dāng)a>0時(shí),討論函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值,從而證明即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),從而求出函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值,通過(guò)討論a的范圍,判斷最小值的符號(hào),求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

解答 證明:(Ⅰ)令g(x)=x2-ax+lnx,(x≥1),
則g′(x)=2x-a+$\frac{1}{x}$,
∵x≥1,∴g′(x)=2x-a+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2}$-a,
∵a≤1,∴g′(x)>0,
∴g(x)是單調(diào)遞增函數(shù),
∴g(x)≥g(1)=1-a≥0,
即,當(dāng)x≥1時(shí),x2≥f(x)恒成立;
解:(Ⅱ)函數(shù)y=f(x)的定義域是(0,+∞),f′(x)=a-$\frac{1}{x}$,
∵a>0,令f′(x)=0,得x=$\frac{1}{a}$>0,
又∵f′(x)=a-$\frac{1}{x}$是增函數(shù),
∴在區(qū)間(0,$\frac{1}{a}$)上,f′(x)<0,y=f(x)是減函數(shù),
在區(qū)間($\frac{1}{a}$,+∞)上,f′(x)>0,函數(shù)y=f(x)是增函數(shù),
∴函數(shù)y=f(x)的最小值是f($\frac{1}{a}$)=1+lna,
①當(dāng)a>$\frac{1}{e}$時(shí),∵f($\frac{1}{a}$)>0,∴f(x)沒(méi)有零點(diǎn),
②a=e時(shí),∵f($\frac{1}{a}$)=0,∴f(x)有且只有1個(gè)零點(diǎn),
③0<a<$\frac{1}{e}$時(shí),∵f($\frac{1}{a}$)<0,f(1)=a>0,
又當(dāng)x0>$\frac{1}{a}$,且x0>ea時(shí),f(x0)>f(ea)=a(ea-1)>0,
故函數(shù)y=f(x)有且只有2個(gè)零點(diǎn),
綜上,a>$\frac{1}{e}$時(shí),f(x)沒(méi)有零點(diǎn),
a=e時(shí),f(x)有且只有1個(gè)零點(diǎn),
0<a<$\frac{1}{e}$時(shí),函數(shù)y=f(x)有且只有2個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題,是一道中檔題.

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20.各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足:an-2016+an+2016-an2=0(n∈N*,n≥2),記該數(shù)列的前n項(xiàng)積為T(mén)n,則T5=32.

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7.二項(xiàng)式(x-$\frac{1}{x}$)6的展開(kāi)式中x-2的系數(shù)為( 。
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