Question

若點(diǎn)集A={（x，y）|x²+y²≤1}，B={（x，y）|-1≤x≤1，-1≤y≤1}，設(shè)點(diǎn)集P={（x，y）|x=x₁+1，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}，M={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}，現(xiàn)向區(qū)域M內(nèi)任投一點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域P內(nèi)的概率為（　　）

• A．

  π

  12+π

• B．

  π

  6+π

• C．

  π

  16

• D．

  π

  8

Answer 1

分析：先分析集合P表示的區(qū)域，將x=x₁+1，y=y₁+1轉(zhuǎn)化為x₁=x-1，y₁=y-1，結(jié)合集合A={（x，y）|x²+y²≤1}，可得P={（x，y）|（x-1）²+（y-1）²≤1}表示的區(qū)域是以（1，1）為圓心，半徑為1的圓，進(jìn)而可得其面積；對于M表示的區(qū)域，分析A、B集合表示的區(qū)域，把x₁，y₁代入x²+y²≤1，可得（x-x₂）²+（y-y₂）²≤1，分析可得M表示的區(qū)域形狀即面積；根據(jù)幾何概型的公式，計算可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，P={（x，y）|x=x₁+1，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}
由（x₁，y₁）∈A，可得（x₁）²+（y₁）²≤1
而x₁=x-1，y₁=y-1，則（x-1）²+（y-1）²≤1
則P={（x，y）|（x-1）²+（y-1）²≤1}表示的區(qū)域是以（1，1）為圓心，半徑為1的圓，面積為π．
M={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}
A所表示的區(qū)域是以（0，0）為圓心，半徑為1的圓，
B所表示的區(qū)域是以（1，1）、（1，-1）、（-1，-1）、（-1，1）為頂點(diǎn)的正方形，
把x₁，y₁代入x²+y²≤1，可得（x-x₂）²+（y-y₂）²≤1
M所表示的區(qū)域是A的圓心在區(qū)域B的邊上移動，圓所覆蓋的區(qū)域，M的面積為12+π；
則向區(qū)域M內(nèi)任投一點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域P內(nèi)的概率為

π

12+π

；
故選A．

點(diǎn)評：本題考查幾何概型的計算，關(guān)鍵在分析出集合P、M表示的區(qū)域的區(qū)域的形狀，難點(diǎn)是分析M表示的區(qū)域形狀．