如圖，已知斜三棱柱（側(cè)棱不垂直于底面）ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，BC=2，AC=2
3
，AB=2
2
，AA1=A1C=
6
．
（Ⅰ）設(shè)AC的中點(diǎn)為D，證明A1D⊥底面ABC；
（Ⅱ）求異面直線A1C與AB成角的余弦值．
（Ⅰ）證明：∵AC=2
3
，AA1=A1C=
6
，∴AC2=AA12+A1C2，
∴△AA1C是等腰直角三角形，
又D是斜邊AC的中點(diǎn)，∴A1D⊥AC，
∵平面A1ACC1⊥平面ABC，∴A1D⊥底面ABC；
（Ⅱ）∵BC=2，AC=2
3
，AB=2
2
，AC2=AB2+BC2，
∴三角形ABC是直角三角形，過(guò)B作AC的垂線BE，垂足為E，
則BE=
AB•BC
AC
=
2•2
2
2
3
=
2
6
3
，EC=
BC2-BE2
=
4-
8
3
=
2
3
3
，
∴DE=CD-EC=
3
-
2
3
3
=
3
3
，
以D為原點(diǎn)，A1D所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，平行于BE的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則A（0，-
3
，0），A1（0，0，
3
），B（
2
6
3
，
3
3
，0），C（0，
3
，0），
A1C
=（0，
3
，-
3
），
AB
=（
2
6
3
，
4
3
3
，0），
所以cos＜
A1C
，
AB
＞=
A1C
•
AB
|
A1C
||
AB
|
=
6
3
，
故所求余弦值為
6
3
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖所示三棱錐P-ABC中，異面直線PA與BC所成的角為90°，二面角P-BC-A為60°，△PBC和△ABC的面積分別為16和10，BC=4．
求：（1）PA的長(zhǎng)；
（2）三棱錐P-ABC的體積VP-ABC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若點(diǎn)M是棱BC上的中點(diǎn)，則D1B與AM所成角的余弦值是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知正△ABC的頂點(diǎn)A在平面α內(nèi)，頂點(diǎn)B，C在平面α的同一側(cè)，D為BC的中點(diǎn)，若△ABC在平面α內(nèi)的射影是以A為直角頂點(diǎn)的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的最小值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1，側(cè)棱與底面垂直，底面ABCD是菱形且∠BAD=60°，側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為2，則面AB1C與底面A1B1C1D1，ABCD所成角的正弦值為（　�。�
A．
1
2
B．2C．
5
5
D．
2
5
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，正三棱柱的九條棱都相等，三個(gè)側(cè)面都是正方體，M、N分別是BC和A1C1的中點(diǎn)，求MN與CC1所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

三棱錐P-ABC中，AP=AC，PB=2，將此三棱錐沿三條側(cè)棱剪開，其展開圖是一個(gè)直角梯形p1p2p3A，如圖．
（1）求證：PB⊥AC
（2）求PB與面ABC所成角的大小．
（3）（只理科做）求三棱錐P-ABC外接球的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形A1ACC1繞直線CC1旋轉(zhuǎn)90°得到正方形B1BCC1，D為CC1的中點(diǎn)，E為A1B的中點(diǎn)，G為△ADB的重心．
（1）求直線EG與直線BD所成的角；
（2）求直線A1B與平面ADB所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，點(diǎn)M、N分別在棱PD、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PD⊥平面AMN；
（2）求三棱錐P-AMN的體積；
（3）求二面角P-AN-M的大�。�

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