Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=3ⁿ，數(shù)列{b_n}滿足b₁=-1，b_n-1=b_n+（2n-1）（ n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的通項公式b_n；
（Ⅲ）若c_n=，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S_n=3ⁿ，
∴S_n-1=3^n-1（n≥2）．
∴a_n=S_n-s_n=3ⁿ-3^n-1=2•3^n-1（n≥2）．
當n=1時，2•3⁰=2≠S₁=3，
∴ （4分）
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+（2n-1）
∴b₂-b₁=1，
b₃-b₂=3，
b₄-b₃=5，
…
b_n-b_n-1=2n-3，
以上各式相加得
b_n-b₁=1+3+5+…+（2n-3）==（n-1）²
∵b₁=-1，∴b_n=n²-2n． （9分）
（Ⅲ）由題意得
當n≥2時，
T_n=-3+2•0×3+2•1×3²+…+2（n-2）×3^n-13T_n=-9+2•0×3²+2•1×3³+2•2×3⁴+…+2（n-2）×3ⁿ
相減得：-2T_n=（n-2）×3ⁿ-（3+3²+3³+…+3^n-1）
T_n=（n-2）×3ⁿ-（3+3²+3³+…+3^n-1）=
=
分析：（Ⅰ）由S_n=3ⁿ，可得S_n-1=3^n-1（n≥2）．利用遞推公式，a_n=S_n-s_n可求
（Ⅱ）由b_n+1=b_n+（2n-1）可得b_n-b_n-1=2n-3，利用疊加法可求
（Ⅲ）由（I）（II）可求，利用錯誤相減可求
點評：本題主要考查了利用遞推公式a_n=S_n-s_n求解數(shù)列的通項公式，解決此類問題時要注意對n=1的檢驗；而疊加法求解數(shù)列的通項公式是數(shù)列通項公式求解中的重要方法．錯誤相減是數(shù)列求和中的重要方法，也是求和中的難點所在．