Question

已知圓的方程為x²+y²=4，過(guò)點(diǎn)M（2，4）作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A₁、A₂，直線A₁A₂恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線x=-1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線AP、BP分別交定直線l：x=-4于兩點(diǎn)Q、R，求證為定值．

Answer 1

解：（Ⅰ） 觀察知，x=2是圓的一條切線，切點(diǎn)為A₁（2，0），
設(shè)O為圓心，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，MO⊥A₁A₂，
∴，
∴直線A₁A₂的方程為．
直線A₁A₂與y軸相交于（0，1），依題意a=2，b=1，
所求橢圓的方程為．
（Ⅱ）橢圓方程為，設(shè)P（x₀，y₀），A（-1，t），B（-1，-t），
則有，，
在直線AP的方程中，令x=-4，整理得．①
同理，．②
①×②，并將，代入得y_Q•y_R=
===-3．
而=13為定值．
分析：（Ⅰ）利用圓的切線的性質(zhì)即可求出橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，進(jìn)而即可得到橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓的方程即可得到關(guān)系式，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)易求出，寫(xiě)出直線AP，BP的方程，即可得到點(diǎn)Q，R的縱坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積即可證明．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線的點(diǎn)斜式、數(shù)量積的定義是解題的關(guān)鍵．注意體會(huì)設(shè)而不求的作用．