Question

【題目】如圖，在棱長為1的正方體中， 為線段的中點(diǎn)，為線段上一動點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）當(dāng)時，求三棱錐的體積；

（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.

（2）.

（3）存在；理由見解析.

【解析】

（1）連結(jié)，借助于正方體的特征，結(jié)合線面垂直的判定和線面垂直的性質(zhì)，得到；

（2）根據(jù)題中的條件，確定出對應(yīng)的點(diǎn)的位置，將三棱錐的頂點(diǎn)和底面轉(zhuǎn)換，利用體積相等，求得結(jié)果；

（3）借助于平行四邊形找到平行線，利用線面平行的判定定理，證得結(jié)果.

(Ⅰ)連結(jié).

在正方體中，

，，

所以.

因?yàn)?/span>為正方形，,

所以.

又因?yàn)?/span>,

所以.

因?yàn)椋?/span>

所以.

(Ⅱ)過點(diǎn)作，交于點(diǎn).

在正方體中，

因?yàn)?/span>，

又因?yàn)?/span>，

所以.

所以為三棱錐的高.

因?yàn)?/span>,

所以.

所以

（III）存在. 當(dāng)為中點(diǎn)時，平面.

設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié).

因?yàn)?/span>、分別為、的中點(diǎn),

所以.

因?yàn)?/span>，

所以.

所以.

在正方形中,

因?yàn)?/span>為中點(diǎn),

所以，且.

所以四邊形為平行四邊形.

所以

因?yàn)?/span>,,

所以平面.