Question

已知函數(shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=ax+lnx，其中a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上單調(diào)減少，求a的取值范圍；
（3）試證明對(duì)?a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．

Answer 1

解：（1）設(shè)x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），
∴f（-x）=-ax+ln（-x），
又∵f（x）是定義定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=ax-ln（-x），f（0）=0
∴函數(shù)f（x）的解析式為 ；
（2）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上單調(diào)減少，當(dāng)且僅當(dāng)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)減少，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=ax+lnx，f′（x）=a+，
由f′（x）=a+≤0，得a，
在區(qū)間（1，+∞）上的取值范圍為（-1，0），
所以a的取值范圍為（-∞，1]，
（3）==a+，
解f′（ξ）=a+=a+，得ξ=e-1，
因?yàn)?＜e-1＜e，所以ξ=e-1為所求．
分析：（1）先設(shè)x∈（-∞，0）則-x∈（0，+∞），再求出f（-x）利用函數(shù)是奇函數(shù)求出f（x），最后用分段函數(shù)表示出函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上單調(diào)減少，當(dāng)且僅當(dāng)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)減少，求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)小于等于零恒成立，利用分離參數(shù)，即可得a的取值范圍；（3）求出，和
f′（ξ），解方程即可求得ξ的值，從而證明結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價(jià)變換思想．