Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）過點(diǎn)A（-e^-2，0）作函數(shù)y=f（x）圖象的切線，求切線方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=lnx+1，由f′（x）＜0得lnx＜-1，∴0＜x＜，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，）；
（Ⅱ）f（x）≥-x²+ax-6，即a≤lnx+x+，
設(shè)g（x）=lnx+x+，則g′（x）==，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；
∴g（x）最小值g（2）=5+ln2，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，5+ln2]；
（Ⅲ）設(shè)切點(diǎn)T（x₀，y₀），則K_AT=f′（x₀），∴，即e²x₀+lnx₀+1=0．
設(shè)h（x）=e²x+lnx+1，當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＞0，∴h（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴h（x）=0最多只有一個(gè)根，又h（）=，∴．
由f′（x₀）=-1，得切線方程是x+y+=0．
分析：（1）在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＜0即可；
（2）分離參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題解決；
（3）設(shè)切點(diǎn)為T（x₀，y₀），由K_AT=f′（x₀），得一方程，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)處理．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題．對(duì)于不等式恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為最值問題解決，注意區(qū)分過某點(diǎn)的切線與某點(diǎn)處的切線的區(qū)別．