Question

在三棱錐P-ABC中，△PAC和△PBC是邊長為

2

的等邊三角形，AB=2，O是AB中點(diǎn)．
（1）在棱PA上求一點(diǎn)M，使得OM∥平面PBC；
（2）求證：平面PAB⊥平面ABC；
（3）求二面角P-BC-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)M為棱PA中點(diǎn)時，證明平面PBC內(nèi)的直線PB與平面外的中心OM平行，即可證明OM∥平面PBC；
（2）連接OC，OP，要證平面PAB⊥平面ABC只需證明，平面PAB內(nèi)的直線PO垂直平面ABC，即可；
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC的法向量和平面ABC的一個法向量，利用二者的數(shù)量積求二面角P-BC-A的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)M為棱PA中點(diǎn)時，OM∥平面PBC．
證明如下：∵M(jìn)，O分別為PA，AB中點(diǎn)，∴OM∥PB
又PB?平面PBC，OM?平面PBC∴OM∥平面PBC．（4分）
（Ⅱ）連接OC，OP
∵AC=CB=

2

，O為AB中點(diǎn)，AB=2，
∴OC⊥AB，OC=1．
同理，PO⊥AB，PO=1．
又PC=

2

，
∴PC²=OC²+PO²=2，∴∠POC=90°．∴PO⊥OC．
∵PO⊥OC，PO⊥AB，AB∩OC=O，
∴PO⊥平面ABC．
∵PO?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABC．（9分）

（Ⅲ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
則B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
∴

BC

=(-1，1，0)，

PB

=(1，0，-1)．
由（Ⅱ）知

OP

=(0，0，1)是平面ABC的一個法向量．
設(shè)平面PBC的法向量為n=（x，y，z），
則

n• BC =0 n• PB =0

?

-x+y=0 x-z=0

．
令z=1，則x=1，y=1，
∴平面PBC的一個法向量n=（1，1，1）．
∴cos＜

OP

，n＞=

OP •n

| OP |•|n|

=

1

1× 3

=

3

3

．
∵二面角P-BC-A的平面角為銳角，
∴所求二面角P-BC-A的余弦值為

3

3

．（14分）

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面的平行，二面角的求法，考查空間想象能力 邏輯思維能力，是中檔題．