已知函數(shù)f(x)=[sin(x+
θ
2
)+
3
cos(x+
θ
2
)]•cos(x+
θ
2
)
為偶函數(shù),且θ∈[0,π],
(1)求θ的值;
(2)函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,a)內(nèi)有且僅有3個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
考點(diǎn):三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用
專題:三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:(1)首先把函數(shù)進(jìn)行恒等變換得到f(x)=sin(2x+θ+
π
3
)+
3
2
,進(jìn)一步根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果.
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論得到:f(x)=cos2x+
3
2
,進(jìn)一步利用函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成求方程的根,求出a的取值范圍.
解答: 解:(1)函數(shù)f(x)=[sin(x+
θ
2
)+
3
cos(x+
θ
2
)]•cos(x+
θ
2
)
=
1
2
sin(2x+θ)+
3
2
[1+cos(2x+θ
)]=
sin(2x+θ+
π
3
)+
3
2

函數(shù)為偶函數(shù),則:f(-x)=f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立.
sin(-2x+θ+
π
3
)=sin(2x+θ
+
π
3
)
得到:
sin2xcos(θ+
π
3
)=0
恒成立
所以:cos(θ+
π
3
)=0
 
∵θ∈[0,π]
∴θ=
π
6

(2)由(1)得:f(x)=cos2x+
3
2

函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,a)內(nèi)有且僅有3個(gè)零點(diǎn),
則:令f(x)=0解得:在區(qū)間(0,a)內(nèi)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)的a=
6
19π
12

故a的范圍:
6
≤a<
19π
12
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)要點(diǎn):三角關(guān)系式的恒等變形,偶函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,余弦型函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,及函數(shù)的零點(diǎn)問題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個(gè)路口,假設(shè)在各個(gè)路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的.第一個(gè)路口遇到紅燈的概率是
1
4
,其余每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是
1
3

(Ⅰ)求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率;
(Ⅱ)假定這名學(xué)生在第二個(gè)路口遇到紅燈,求這名學(xué)生在上學(xué)路上遇到紅燈的次數(shù)X的分布列及期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知矩陣M=
2a
21
,其中a∈R,若點(diǎn)P(1,-2)在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)P′(-4,0),如果正實(shí)數(shù)λ是矩陣M的特征值,α是對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量且|α|=2
13
,求向量λ的值與向量α.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)=-
1
3
x3+x在(a,10-a2)上有最大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面α,β和直線m,給出條件:①m∥α;②m⊥α;③m?α;④α⊥β;⑤α∥β.當(dāng)滿足條件
 
時(shí),有m∥β(填所選條件的序號(hào))

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:an+an+1=2n+1(n∈N*),且a1=3,則a2014=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

5本不同的課外讀物分給4位同學(xué),每人至少一本,則不同的分配方法有( 。
A、20種B、60種
C、240種D、100種

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組
x-2y≥0
x+y-4≤0
y≥0
表示的平面區(qū)域?yàn)棣福瑒t過點(diǎn)A(3,
3
)且與Ω有公共點(diǎn)的直線傾斜角的變化范圍為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+m-1=0.請(qǐng)你為m選取一個(gè)合適的整數(shù),使得到的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案