Question

15．如圖，在△ABC中，作平行于BC的直線交AB于D，交AC于E，如果BE和CD相交于點O，AO和DE相交于點F，AO的延長線和BC相交于G．證明：
（1）$\frac{DF}{BG}$=$\frac{EF}{GC}$；
（2）DF=FE．

Answer 1

分析 （1）由DF∥BC，可得△ADF∽△ABG，利用相似三角形的性質(zhì)定理即可證明．
（2）由DF∥BC，可得△DFO∽△CGO，即$\frac{DF}{GC}$=$\frac{FO}{GO}$，同理$\frac{FE}{BG}$=$\frac{FO}{GO}$，由（1）有$\frac{GC}{BG}$=$\frac{FE}{DF}$，進(jìn)而證明．

解答 證明：（1）∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABG，即$\frac{DF}{BG}$=$\frac{AF}{AG}$，同理$\frac{AF}{AG}=\frac{FE}{GC}$，
于是$\frac{DF}{BG}$=$\frac{EF}{GC}$．
（2）∵DF∥BC，∴△DFO∽△CGO，即$\frac{DF}{GC}$=$\frac{FO}{GO}$，同理$\frac{FE}{BG}$=$\frac{FO}{GO}$，
∴$\frac{DF}{BG}$=$\frac{EF}{GC}$，可得：$\frac{DF}{FE}$=$\frac{GC}{BG}$，
又由（1）有$\frac{GC}{BG}$=$\frac{FE}{DF}$，
∴$\frac{DF}{FE}$=$\frac{FE}{DF}$，即DF=FE．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．