Question

記，g（x）是f（x）的反函數(shù)．
（Ⅰ）若關(guān)于x的方程：在x∈[0，1）上有實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅱ）當a=e（e是自然對數(shù)的底數(shù)）時，記，求函數(shù)h（x）的最大值；
（Ⅲ）當a＞1時，求證：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出g（x），在[2，6]上有實數(shù)解，求出t的表達式，利用導數(shù)確定t 的范圍；
（Ⅱ）a=e求出 ，利用導數(shù)推出是增函數(shù)，求出最小值，即可求函數(shù)h（x）的最大值；
（Ⅲ）利用放縮法，求出的取值范圍，最后推出小于即可．
解答：解：（Ⅰ）由條件可知：t=（1+x）（2x²-5x+5），在x∈[0，1）上有解．
t'=6x（x-1），當x∈[0，1）時，t'（x）＜0，所以t（x）在[0，1）上單調(diào)遞減．t（1）＜t（x）≤t（0），即4＜t≤5．（4分）
（Ⅱ）f（x）的定義域為（-1，1），，
當a=e時，，所以，
所以h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減．所以，x≥0時，h（x）_max=h（0）=0；（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）的啟示可以設(shè)
則，
所以G（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
當x＞0時，G（x）＜G（0）=0，即
所以．（16分）
點評：本小題考查函數(shù)、反函數(shù)、方程、不等式、導數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查化歸、分類整合等數(shù)學思想方法，以及推理論證、分析與解決問題的能力．