Question

3．如圖所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱垂直于底面，DB=BC，DB⊥AC，點M是棱BB₁上的一點．
（1）若DB=BC=CD，求BD與平面CDD₁C₁所成角；
（2）求證：MD⊥AC；
（3）是否存在點M，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D？若存在，試確定點M的位置，并給出證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （2）根據(jù)直四棱柱的幾何特征，我們易得BB₁⊥面ABCD，即BB₁⊥AC，又由BD⊥AC，線面垂直的判定定理，即可得到MD⊥AC；
（3）取DC的中點N，D₁C₁的中點N₁，連接NN₁交DC₁于O，連接OM．由N是DC中點，BD=BC，根據(jù)等腰三角形“三線合一”可得BN⊥DC，又由面ABCD⊥面DCC₁D₁，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，可得BN⊥面DCC₁D₁，又由O是NN₁的中點，可得四邊形BMON是平行四邊形，所以BN∥OM，則OM⊥平面CC₁D₁D，由面面垂直的判定定理，即可得到平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．

解答 （1）解：取CD的中點N，連接BN，則BN⊥CD．
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱垂直于底面，
∴BN⊥平面CDD₁C₁，
∴∠DBN是BD與平面CDD₁C₁所成角，
∵DB=BC=CD，∴BD與平面CDD₁C₁所成角是30°；
（2）證明：因為BB₁⊥面ABCD，AC?面ABCD，所以BB₁⊥AC
又因為BD⊥AC，且BD∩BB₁=B，所以AC⊥面BB₁D
而MD?面BB₁D，所以MD⊥AC
（3）當(dāng)點M為棱BB₁的中點時，平面DMC₁平面CC₁D₁D
取DC的中點N，D₁C₁的中點N₁，連接NN₁交DC₁于O，連接OM．
因為N是DC中點，BD=BC，所以BN⊥DC；
又因為DC是面ABCD與面DCC₁D₁的交線，而面ABCD⊥面DCC₁D₁，
所以BN⊥面DCC₁D₁
又可證得，O是NN₁的中點，所以BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四邊形，所以BN∥OM，所以O(shè)M⊥平面CC₁D₁D，
因為OM?面DMC₁，所以平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．

點評 本題考查的知識點是線面角，線面平行的判定定理，線面垂直的判定及性質(zhì)，面面垂直的判定，熟練掌握直四棱柱的幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．