Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

x

ex

+c（c∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間、最大值；
（2）討論關(guān)于x的方程|lnx|=f（x）的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出f′（x），分別解出f′（x）＞0與f′（x）＜0即可得出單調(diào)區(qū)間及極值與最值；
（2）令g（x）=|lnx|-f（x）=|lnx|-x•e^-x-c，x∈（0，+∞），分類討論：①當(dāng)x≥1時(shí)，②當(dāng)0＜x≤1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分別求出c的取值范圍，即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）f′(x)=

1-x

ex

…（1分）
由f'（x）=0得x=1
當(dāng)x＜1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1）；單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）…（3分）
∴f（x）的最大值為f(1)=

1

e

+c…（4分）
（2）令g（x）=|lnx|-f（x）=|lnx|-x•e^-x-c，x∈（0，+∞）…（5分）
①當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）=lnx-x•e^-x-c
∴g′(x)=

1

x

-e-x+x•e-x=

1

x

+e-x•(x-1)
∵e^-x＞0，x-1＞0∴g'（x）＞0
∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增　　　　　　　　　　　　…（7分）
②當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，lnx＜0，g（x）=-lnx-x•e^-x-c
則g′(x)=-

1

x

+e-x•(x-1)
∵-

1

x

＜-1，e-x＞0，x-1＜0
∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減
綜合①②可知，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）≥g（1）=-e^-1-c…（9分）
當(dāng)g（1）＞0即c＜-e^-1時(shí)，g（x）沒有零點(diǎn)，故關(guān)于方程|lnx|=f（x）的根的個(gè)數(shù)為0
當(dāng)g（1）=0即c=-e^-1時(shí)，g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，故關(guān)于方程|lnx|=f（x）的根的個(gè)數(shù)為1　　　　　　　　　　　　…（11分）
當(dāng)g（1）＜0即c＞-e^-1時(shí)，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)
由（1）知g(x)=lnx-xe-x-c≥lnx-(

1

e

+c)＞lnx-1-c
要使g（x）＞0，只需lnx-1-c＞0即x∈（e^1+c，+∞）
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，由（1）知g(x)=-lnx-xe-x-c≥-lnx-(

1

e

+c)＞-lnx-1-c
要使g（x）＞0，只需-lnx-1-c＞0即x∈（0，e^-1-c）
所以c＞-e^-1時(shí)，g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)　　　…（13分）
綜上所述，當(dāng)c＜-e^-1時(shí)，關(guān)于x的方程|lnx|=f（x）根的個(gè)數(shù)為0
當(dāng)c=-e^-1時(shí)，關(guān)于x的方程|lnx|=f（x）根的個(gè)數(shù)為1
當(dāng)c＞-e^-1時(shí)，關(guān)于x的方程|lnx|=f（x）根的個(gè)數(shù)為2　　…（14分）

點(diǎn)評：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、數(shù)形結(jié)合的思想方法、分類討論的思想方法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力和計(jì)算能力及其化歸思想方法．