Question

已知向量

a

=（cosx，-sinx），

b

=（sinx-3cosx，sinx-cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）若x=

π

3

，求f（x）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的對稱中心和最大值，并求取得最大值時(shí)的x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）將f（x）=

a

•

b

化簡，再代值計(jì)算．
（2）進(jìn)一步化簡f（x）=sin2x-cos2x-2=

2

sin(2x-

π

4

)-2，不難看出最大值，令2x-

π

4

=kπ(k∈Z)，計(jì)算其對稱中心．

解答： 解：（1）由題意，得
f（x）=

a

•

b

=2sinxcosx-3cos²x-sin²x=sin2x-cos2x-2，
∴當(dāng)x=

π

3

時(shí)，f(x)=sin

2π

3

-cos

2π

3

-2=

3

2

+

1

2

-2=

3 -3

2

．
（2）由（1）知，
f（x）=sin2x-cos2x-2=

2

sin(2x-

π

4

)-2
由2x-

π

4

=kπ(k∈Z)得x=

kπ

2

+

π

8

(k∈Z)
所以f（x）對稱中心為(

kπ

2

+

π

8

，-2)(k∈Z)
當(dāng)x=kπ+

3π

8

(k∈Z)時(shí)，f（x）取最大值

2

-2．

點(diǎn)評(píng)：在三角函數(shù)式的化簡中，對于公式要求要很熟練，即達(dá)到“正用，反用，變形用”等三個(gè)要求．