Question

7．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}$=1的一條漸近線為y=-2x，且一個焦點(diǎn)與拋物線y=$\frac{1}{4}$x²的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線的方程為（　　）

• A． $\frac{5}{4}$x²-5y²=1
• B． 5y²-$\frac{5}{4}$x²=1
• C． 5x²-$\frac{5}{4}$y²=1
• D． $\frac{5}{4}$y²-5x²=1

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，確定雙曲線的焦點(diǎn)，求出a，b，c，即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

解答 解：∵雙曲線的一個焦點(diǎn)與拋物線y=$\frac{1}{4}$x²的焦點(diǎn)相同，
∴雙曲線的焦點(diǎn)在y軸，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），即c=1，
則雙曲線$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}$=1標(biāo)準(zhǔn)方程形式為$\frac{{y}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{-a}$=1，
則b＞0，a＜0，
由$\frac{{y}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{-a}$=0得y²=$\frac{-a}$x²，
則雙曲線的漸近線為y=±$\sqrt{\frac{-a}}$x，
∵雙曲線一條漸近線為y=-2x，
∴$\sqrt{\frac{-a}}$=2，即$\frac{-a}$=4，則b=-4a，
∵b+（-a）=c²=1，
∴-5a=1，則a=-$\frac{1}{5}$，b=$\frac{4}{5}$，
則雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{5}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{5}}$=1，即$\frac{5}{4}$y²-5x²=1，
故選：D

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的方程的求解，根據(jù)條件求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，建立方程關(guān)系求出a，b，c的值是解決本題的關(guān)鍵．