Question

（2013•杭州一模）設在等差數列{a_n}和等比數列{b_n}中，a₁=1，b₁=2，b_n＞0（n∈N^*），且b₁，a₂，b₂成等差數列，a₂，b₂，a₃+2成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=abn，數列{c_n}的前n項和為S_n，若

S2n+4n

Sn+2n

＜bn+1+t恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差數列、等比數列的定義及通項公式即可得出；
（Ⅱ）利用等比數列的前n項和公式、函數的單調性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q（q＞0）．由題意，
得

2(1+d)=2+2q (2q)2=(1+d)(3+2d)

，解得d=q=3．
∴a_n=3n-2，bn=2×3n-1．
（Ⅱ）∵c_n=abn=3b_n-2=3×2×3^n-1-2=2×3ⁿ-2．
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=2×（3¹+3²+…+3ⁿ）-2n
=2×

3(3n-1)

3-1

-2n
=3ⁿ⁺¹-3-2n．
∴

S2n+4n

Sn+2n

=

32n+1-3

3n+1-3

=3ⁿ+1．
∵

S2n+4n

Sn+2n

＜bn+1+t恒成立，∴3ⁿ+1＜2×3ⁿ+t恒成立，即t＞（-3ⁿ+1）_max，n∈N^*．
由于函數y=-3^x+1在（0，+∞）上單調遞減，
∴-3ⁿ+1≤-3¹+1=-2，
故t＞-2．

點評：熟練掌握等差數列、等比數列的定義、通項公式、前n項和公式及函數的單調性是解題的關鍵．