Question

已知可行域的外接圓C₁與x軸交于點A₁、A₂，橢圓C₂以線段A₁A₂為長軸，離心率
（1）求圓C₁及橢圓C₂的方程
（2）設(shè)橢圓C₂的右焦點為F，點P為圓C₁上異于A₁、A₂的動點，過原點O作直線PF的垂線交直線x=2于點Q，判斷直線PQ與圓C₁的位置關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

解：（1）由題意可知，可行域是以為頂點的三角形
因為
∴△A₁A₂M為直角三角形
∴外接圓C₁是以原點O為圓心，線段|A₁A₂|=為直徑的圓故其方程為x²+y²=2
設(shè)橢圓的方程為
∵
∴∴c=1，可得b=1
故橢圓C₂的方程為
（2）直線PQ始終與圓C₁相切。設(shè)
當(dāng)x₀=1時，P（1，1）或P（1，﹣1），此時Q（2，0）
若
k_OPk_PQ=﹣1
∴OP⊥PQ
若
k_OPk_PQ=﹣1
∴OP⊥PQ  
即  當(dāng)x₀=1時，OP⊥PQ，直線PQ與圓C₁相切
當(dāng)
所以直線OQ的方程為，因此點Q的坐標(biāo)為（2，
∵
∴當(dāng)x₀=0時，k_PQ=0，OP⊥PQ
∴當(dāng)，
∴k_OPk_PQ=﹣1  ，  OP⊥PQ
綜上，當(dāng)時，OP⊥PQ，故直線PQ始終與圓C₁相切