Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），|

a

-

b

|=

10

5

（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，且sinβ=-

5

13

，求sinα的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),向量的模

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）通過向量差的模，利用兩角和與差的三角函數(shù)直接求cos（α-β）的值；
（2）通過0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，判斷α-β的范圍，求出sin（α-β）的值以及sinβ=-

5

13

求出cosβ的值，然后求sinα的值．

解答： 解：（1）向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），|

a

-

b

|=

10

5

∴

(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

=

10

5

．

2-2cos(α-β)

=

10

5

，
∴cos（α-β）=

4

5

．
（2）-

π

2

＜β＜0，且sinβ=-

5

13

，cosβ=

1-sin2β

=

12

13

，
∵0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，∴α-β∈（0，π），
sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

3

5

．
sinα=sin（α-β+β）=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=

3

5

×(-

5

13

)+

4

5

×

12

13

=

33

65

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)和模的計(jì)算公式，考查兩角和與差的三角函數(shù)以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，注意角的變換技巧．