(Ⅰ)證明c2=ab,并求直線BF與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)直線BF交橢圓于P、Q兩點(diǎn),證明·=b2.
本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、平面向量、曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法,考查推理及運(yùn)算能力.
(Ⅰ)證明:由題設(shè)條件知,Rt△OFA∽R(shí)t△OBF,故
即.
因此,c2=ab.
解:在Rt△OFA中,
FA=
于是,直線OA的斜率k
k=
這時(shí),直線BF的方程為y=(x-c),令x=0,則
y=
所以直線BF與y軸的交點(diǎn)為M(0,a).
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ),得直線BF的方程為y=kx+a,且
k2= ②
由已知,設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2),則它們的坐標(biāo)滿足方程組
由方程組③消去y,并整理得
(b2+a2k2)x2+
由①、②和④,
x1x2=
由方程組③消去x,并整理得
(b2+a2k2)y2-2ab2y+a2b2-a2b2k2=0. ⑤
由式②和⑤,
y1y2=
綜上,得到
·.
注意到a2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2,得
·
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a2 |
y2 |
b2 |
1 |
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FA |
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