(22)如圖,以橢圓(a>b>0)的中心O為圓心,分別以a和b為半徑作大圓和小圓.過橢圓右焦點(diǎn)F(c,0)(c>b)作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A.連結(jié)OA交小圓于點(diǎn)B.設(shè)直線BF是小圓的切線.

(Ⅰ)證明c2=ab,并求直線BF與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo);

(Ⅱ)設(shè)直線BF交橢圓于P、Q兩點(diǎn),證明·=b2

本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、平面向量、曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法,考查推理及運(yùn)算能力.

(Ⅰ)證明:由題設(shè)條件知,Rt△OFA∽R(shí)t△OBF,故

.

因此,c2=ab.

解:在Rt△OFA中,

FA=

于是,直線OA的斜率k0A=.設(shè)直線BF的斜率為k,則

k=

這時(shí),直線BF的方程為y=(x-c),令x=0,則

y=

所以直線BF與y軸的交點(diǎn)為M(0,a).

(Ⅱ)證明:由(Ⅰ),得直線BF的方程為y=kx+a,且

k2=          ②

 

由已知,設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2),則它們的坐標(biāo)滿足方程組

由方程組③消去y,并整理得

(b2+a2k2)x2+2a3kx+a4-a2b2=0.     ④

由①、②和④,

 

x1x2=

由方程組③消去x,并整理得

 

(b2+a2k2)y2-2ab2y+a2b2-a2b2k2=0.  ⑤

由式②和⑤,

 

y1y2=

綜上,得到

·.

 

注意到a2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2,得

 

·

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知矩形ABCD中,AB=2
2
,BC=1.以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xoy.
(1)求以A,B為焦點(diǎn),且過C,D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)P(0,2)的直線l與(1)中的橢圓交于M,N兩點(diǎn),是否存在直線l,使得以線段MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知圓O:x2+y2=2交x軸于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(-1,1)為圓O上一點(diǎn).曲線C是以AB為長軸,離心率為
2
2
的橢圓,點(diǎn)F為其右焦點(diǎn).過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的右準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)證明:直線PQ與圓O相切.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是離心率為
2
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),直線l:x=-
1
2
將線段F1F2分成兩段,其長度之比為1:3.設(shè)A,B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)M在直線l上,線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點(diǎn).
(Ⅰ) 求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 是否存在點(diǎn)M,使以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F2,若存在,求出M點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•日照一模)已知長方形EFCD,|EF|=2,|FC|=
2
2
.以EF的中點(diǎn)O為原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy.
(Ⅰ)求以E,F(xiàn)為焦點(diǎn),且過C,D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)在(I)的條件下,過點(diǎn)F做直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B,設(shè)
FA
FB
,點(diǎn)T坐標(biāo)為(2,0),若λ∈[-2,-1],求|
TA
+
TB
|的取值范圍.

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