【題目】某國有53座城市，任意兩座城市之間要么有一條雙向公路直達(dá)，要么沒有直接相連的公路。已知這53座城市之間共有312條公路，并且由任何一座城市出發(fā)通過公路均能到達(dá)其余各城市。每一座城市至多向其余12座城市引出公路，且每走一條公路需要繳納10元路費(fèi)�，F(xiàn)甲在城市A，且身上僅有120元。甲是否一定能到達(dá)任意一座城市？證明你的結(jié)論。

【答案】見解析

【解析】

一定能到達(dá).

將這53座城市看成53個頂點(diǎn)，若兩座城市之間有雙向公路直達(dá)，則在對應(yīng)的頂點(diǎn)之間連一條無向邊.如此，構(gòu)造出圖G.由題意，知C為簡單連通圖.記D為圖G的直徑.原題即問直徑D是否小于或等于12.

由直徑定義，知存在頂點(diǎn)u、v使得存在一條u-v路，其長度為D.記這條路上的所有頂點(diǎn)構(gòu)成的集合為P.將圖G去掉集合P中的頂點(diǎn)以及和P中頂點(diǎn)相連的邊后得到的子圖記為G'.

由于這條u-v路的長度為直徑D，是所有路中最長的，因此，有結(jié)論：這條u-v路上的頂點(diǎn)之間除了相鄰頂點(diǎn)外，不能相連.

將集合P中的頂點(diǎn)從u到v順序編號為1,2,...,D+1，把編號模3余i的頂點(diǎn)構(gòu)成的集合記為.

則有結(jié)論：對于給定的i(i=1,2,3)，任取集合中的兩個不同頂點(diǎn)x、y，這兩者之間沒有邊.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】用n種不同的顏色為下列兩塊廣告牌著色，（如圖甲、乙），要求在A，B，C，D四個區(qū)域中相鄰（有公共邊界）的區(qū)域不用同一顏色.

（1）若n=6,則為甲圖著色時共有多少種不同的方法；

（2）若為乙圖著色時共有120種不同方法，求n.

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【題目】已知函數(shù) (是自然對數(shù)的底數(shù))

（1）求證:

（2）若不等式在上恒成立,求正數(shù)的取值范圍.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是，曲線的極坐標(biāo)方程是．

（1）求直線l和曲線的直角坐標(biāo)方程，曲線的普通方程；

（2）若直線l與曲線和曲線在第一象限的交點(diǎn)分別為P，Q，求的值．

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【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的面積為.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若直線與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P為橢圓E上一動點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.當(dāng)時，求的最小值.

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【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)

（1）求不等式的解集；

（2）若，求證： .

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【題目】某商店銷售某海鮮，統(tǒng)計了春節(jié)前后50天該海鮮的需求量（，單位：公斤），其頻率分布直方圖如圖所示，該海鮮每天進(jìn)貨1次，商店每銷售1公斤可獲利50元；若供大于求，剩余的削價處理，每處理1公斤虧損10元；若供不應(yīng)求，可從其它商店調(diào)撥，銷售1公斤可獲利30元.假設(shè)商店每天該海鮮的進(jìn)貨量為14公斤，商店的日利潤為元.

（1）求商店日利潤關(guān)于需求量的函數(shù)表達(dá)式；

（2）假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替.

①求這50天商店銷售該海鮮日利潤的平均數(shù)；

②估計日利潤在區(qū)間內(nèi)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】春節(jié)期間某商店出售某種海鮮禮盒，假設(shè)每天該禮盒的需求量在范圍內(nèi)等可能取值，該禮盒的進(jìn)貨量也在范圍內(nèi)取值（每天進(jìn)1次貨）.商店每銷售1盒禮盒可獲利50元；若供大于求，剩余的削價處理，每處理1盒禮盒虧損10元；若供不應(yīng)求，可從其它商店調(diào)撥，銷售1盒禮盒可獲利30元.設(shè)該禮盒每天的需求量為盒，進(jìn)貨量為盒，商店的日利潤為元.

（1）求商店的日利潤關(guān)于需求量的函數(shù)表達(dá)式；

（2）試計算進(jìn)貨量為多少時，商店日利潤的期望值最大？并求出日利潤期望值的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校2011年到2019年參加“北約”“華約”考試而獲得加分的學(xué)生人數(shù)（每位學(xué)生只能參加“北約”“華約”中的一種考試）可以通過以下表格反映出來，（為了方便計算，將2011年編號為1，2012年編號為2，依此類推）

年份x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

人數(shù)y

2

3

5

4

5

7

8

10

10

（1）求這九年來，該校參加“北約”“華約”考試而獲得加分的學(xué)生人數(shù)的平均數(shù)和方差；

（2）根據(jù)最近五年的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求出y與x的線性回歸方程，并依此預(yù)測該校2020年參加“北約”“華約”考試而獲得加分的學(xué)生人數(shù)．（最終結(jié)果精確至個位）

參考數(shù)據(jù)：回歸直線的方程是，其中，，，．

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