Question

AB為圓O的直徑，點E，F(xiàn)在圓上，AB∥EF，矩形ABCD所
在平面與圓O所在平面互相垂直，
已知AB=2，EF=1．
（1）求證：BF⊥平面DAF；
（2）求BF與平面ABCD所成的角；
（3）若AC與BD相交于點M，
求證：ME∥平面DAF．

Answer 1

證明：（1）∵AB為圓O的直徑，
∴BF⊥AF，
又∵平面ABCD⊥圓O面，且平面ABCD∩圓O面=AB，DA⊥AB，
∴DA⊥圓面O，BF?圓面O，
∴DA⊥BF，DA∩AF=F，
∴BF⊥平面ADF；
解：（2）過點F作FH⊥AB交AB于H，
DA⊥圓面O，F(xiàn)H?圓面O，
DA⊥FH，
∴FH⊥平面ABCD，
∴∠HBA是BF與平面ABCD所成角的平面角，
∵HF=，BH=，
∴∠HBA=30°，
∴BF與平面ABCD所成角是30°．
證明：（3）過點M作MG∥AB交DA于G，連接FG，
則MG∥AB，MG=AB，
∴EF=MG且EF∥MG，
四邊形MGFE為平行四邊形，
∴GF∥ME，
∵GF?平面DAF，ME?平面DAF，
∴ME∥平面DAF．
分析：（1）由已知中矩形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)可得DA⊥圓面O，進而得到DA⊥BF，又由AB為圓O的直徑，可得BF⊥AF，根據(jù)線面垂直的判定定理即可得到答案．
（2）過點F作FH⊥AB交AB于H，結(jié)合已知，我們可得∠HBA是BF與平面ABCD所成角的平面角，解三角形HBA即可得到BF與平面ABCD所成的角；
（3）過點M作MG∥AB交DA于G，連接FG，易得四邊形MGFE為平行四邊形，即ME∥GF，根據(jù)線面平行的判定定理，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是得到BF⊥AF，DA⊥BF，（2）的關(guān)鍵是得到∠HBA是BF與平面ABCD所成角的平面角，（3）的關(guān)鍵是得到ME∥GF．