Question

18．在△ABC中，若AB=3，AC=4，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，則$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$的值為$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 如圖所示，可得平行四邊形ABDC是矩形．利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答 解：如圖所示，設$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$，
∴四邊形ABDC是平行四邊形
∵|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，
∴平行四邊形ABDC是矩形，
∴|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
在Rt△ABC中，cos∠ABC=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{3×5×\frac{4}{5}}{5}$=$\frac{12}{5}$，
故答案為：$\frac{12}{5}$．

點評 本題考查了向量的平行四邊形法則、矩形的定義、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．