已知△ABC的面積滿足
3
≤S≤3
,且
AB
BC
=6,
(Ⅰ)求f(B)=sin2B+2sinB•cosB+3cos2B的值域;
(Ⅱ)若
p
=(sinA,cosA),
q
=(cosC,sinC)
,求|2
p
-3
q
|
的取值范圍.
分析:(I)由三角形面積和數(shù)量積公式,聯(lián)解可得tanB=-
S
3
,結(jié)合
3
≤S≤3
得tanB∈[-1,-
3
3
],從而
4
≤B≤
6
,再化簡函數(shù)f(B)=2+
2
sin(2B+
π
4
),結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),可得函數(shù)f(B)的值域;
(II)由已知得向量
p
、
q
都是單位向量,將|2
p
-3
q
|
平方化簡得|2
p
-3
q
|2
=13-12sinB,結(jié)合角B的取值范圍則不難得到|2
p
-3
q
|2
的取值范圍,進而可得到|2
p
-3
q
|
的取值范圍.
解答:解(I)由S=
1
2
acsinB
,得2S=acsinB
因為
AB
BC
=-accosB=6
,所以-6=accosB
tanB=
acsinB
accosB
=
2S
-6
=-
S
3
,
結(jié)合
3
≤S≤3
,得-1≤tanB≤-
3
3
,
由角B為三角形內(nèi)角可知,
4
≤B≤
6
…(2分).
∵f(B)=sin2B+2sinB•cosB+3cos2B=1+sin2B+1+cos2B=2+
2
sin(2B+
π
4
)
…(4分)
4
≤2B+
π
4
23π
12
,函數(shù)f(B)在區(qū)間[
4
,
6
]上為增函數(shù)
∴當B=
4
時,函數(shù)有最小值為2+
2
sin
4
=1;當B=
6
時,函數(shù)有最大值為2+
2
sin
23π
12
=
5-
3
2

由此可得f(x)∈[1,
5-
3
2
]
…(6分).
(II)由
p
=(sinA,cosA),
q
=(cosC,sinC)
可知:|
p
|=1,|
q
|=1
.…(8分).
∵A+B+C=π,∴A+C=π-B,得sin(A+C)=sinB
因此,|2
p
-3
q
|2=4
p
2
+9
q
2
-12
p
q
=13-12(sinAcosC+cosAsinC)=13-12sinB
…(10分)
4
≤B≤
6
,∴sinB∈[
1
2
2
2
]
由此可得:13-6
2
≤|2
p
-3
q
|2≤7
,得到|2
p
-3
q
|∈[
13-6
2
7
]
…(12分).
點評:本題以平面向量的數(shù)量積運算為載體,求關(guān)于B的函數(shù)的值域和向量模長的取值范圍,著重考查了平面向量數(shù)量積的運算公式、兩角和與差的正弦函數(shù)和向量的模公式等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的面積為3,且滿足0≤
AB
AC
≤6
,設(shè)
AB
AC
的夾角為θ.
(Ⅰ)求θ的取值范圍;
(Ⅱ)求函數(shù)f(θ)=2sin2(
π
4
+θ)-
3
cos2θ
的最大值與最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的面積為3,且滿足0≤
AB
AC
≤6,設(shè)
AB
AC
的夾角為θ.
(Ⅰ)求θ的取值范圍;
(Ⅱ)求函數(shù)f(θ)=2sin2(
π
4
+θ)-
3
cos2θ
的最大值與最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的面積為3,且滿足0≤
AB
AC
≤6,設(shè)
AB
AC
的夾角為θ,則θ的取值范圍是
[
π
4
π
2
]
[
π
4
,
π
2
]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的面積為3,并且滿足2
3
AB
AC
≤6
3
,設(shè)
AB
AC
的夾角為θ.
(1)求θ的取值范圍;
(2)求函數(shù)f(θ)=2
3
sin2(
π
4
+2θ)-2cos22θ-
3
的零點.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案