Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c（其中b，c為實(shí)常數(shù)）．
（1）若b＞2，且y=f（sinx）的最大值為5，最小值為-1，求函數(shù)的解析式；
（2）是否存在這樣的函數(shù)y=f（x），使得{y|y=x²+bx+c，-1≤x≤0}=[-1，0]，若存在，求出f（x）的解析式；
（3）已知集合A={x|x²+Bx+C=x}中有且僅有一個(gè)元素，若f[f（x₀）]=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=x²+bx+c在給定區(qū)間[-1，1]上的最值問(wèn)題，即要判斷函數(shù)在[-1，1]上的單調(diào)性，繼而得到函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=x²+bx+c的定義域與值域?yàn)閇-1，0]，通過(guò)對(duì)參數(shù)b分類討論，得到關(guān)于b與c的關(guān)系式，繼而得到函數(shù)y=f（x）的解析式；
（3）先證明：如果f（x）沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)x₀，即不存在x₀使得f（x₀）=x₀，再證明若f（x）有唯一不動(dòng)點(diǎn)，則F（x）也有唯一不動(dòng)點(diǎn)，可得答案．

解答： 解：（1）由條件知f（x）=x²+bx+c，x∈[-1，1]的最大值為5，最小值為-1
而b＞2，則對(duì)稱軸x=-

b

2

＜-1，
則

f(-1)=-1 f(1)=5

，即

c-b+1=-1 b+c+1=5

，
解得

b=3 c=1

則f（x）=x²+3x+1．
（2）①若b≥2，則x=-

b

2

≤-1，
則

c-b+1=-1 c=0

，解得

b=2 c=0

，
此時(shí)f（x）=x²+2x
②若b≤0，則x=-

b

2

≥0，
則

c-b+1=0 c=-1

，解得

b=0 c=-1

，
此時(shí)f（x）=x²-1
③若0＜b≤1，則x=-

b

2

∈[-

1

2

，0），
則

c-b+1=0 c- b2 4 =-1

，解得

b=0 c=-1

（舍）或

b=4 c=3

（舍），
此時(shí)不存在函數(shù)f（x）
④若1＜b＜2，則x=-

b

2

∈（-1，-

1

2

），
則

c=0 c- b2 4 =-1

，解得

b=2 c=0

（舍）或

b=-2 c=0

（舍），
此時(shí)不存在函數(shù)f（x）
綜上所述存在函數(shù)f（x）=x²-1和f（x）=x²+2x滿足條件．
（3）設(shè)F（x）=f（f（x）），其中f（x）=x²+bx+c，
先證明：如果f（x）沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)x₀，即不存在x₀使得f（x₀）=x₀，
則F（x）也沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，即也不存在x₀使得F（x₀）=x₀，
則函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=x的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，
∴y=f（x）的圖象始終在函數(shù)y=x的圖象上方，
即恒有f（x）＞x成立，
故F（x）=f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，
即F（x）也沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)．
再證明下一個(gè)結(jié)論：若f（x）有唯一不動(dòng)點(diǎn)，則F（x）也有唯一不動(dòng)點(diǎn)，
若a是f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，則f（a）=a，故F（a）=a，
若a不是f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，第一個(gè)結(jié)論可知，a也不是F（x）的不動(dòng)點(diǎn)．
綜上，若f（x）有唯一的x₀使得 f（x₀）=x₀，
則有唯一的x₀（同一個(gè)x₀）使得f（f（x₀））=x₀，
即若f[f（x₀）]=x₀，則f（x₀）=x₀．

點(diǎn)評(píng)：本題以二次函數(shù)為載體，考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，考查二次函數(shù)解析式的常用解法及分類討論，轉(zhuǎn)化思想，充分利用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．