已知直線l1：y＝4x和點P(6，4)，過點P引一直線l與l1交于點Q，與x軸正半軸交于點R，當(dāng)△OQR的面積最小時，求直線l的方程.

活動：因為直線l過定點P(6，4)，所以只要求出點Q的坐標(biāo)，就能由直線方程的兩點式寫出直線l的方程.

解：因為過點P(6，4)的直線方程為x=6和y-4=k(x-6).

當(dāng)l的方程為x＝6時，△OQR的面積為S=72;當(dāng)l的方程為y-4=k(x-6)時，點R的坐標(biāo)為R(,0),點Q的坐標(biāo)為Q(,),此時△OQR的面積S=××

=.

∵S≥0,∴R(R-4)＞0,∴R＞4或R＜0.

變形為(S-72)k2＋(96-4S)k-32=0(S≠72).

因為上述方程根的判別式Δ≥0，所以(96-4S)2+4·32(S-72)≥0,

解得16S(S-40)≥0,即S≥40,此時k=-1.

所以,當(dāng)且僅當(dāng)k=-1時，S有最小值40.

此時,直線l的方程為y-4=-(x-6)，即x＋y-10＝0.

點評：此題是一道有關(guān)函數(shù)最值的綜合題.如何恰當(dāng)選取自變量，建立面積函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵.怎樣求這個面積函數(shù)的最值，學(xué)生可能有困難，教師宜根據(jù)學(xué)生的實際情況進(jìn)行啟發(fā)和指導(dǎo).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：013

已知直線l1: x-y-1 ＝ 0, l2: x ＝ 2, 則l2的傾斜角是l1傾斜角的________倍.

[　　]

A. 　　　　     B. 2　　　　    C. 3　　　　　　   D. 4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是                                                            (　　)

A．1或3                     B．1或5

C．3或5                     D．1或2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆浙江省嘉興市八校高二上期中聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本題8分）已知直線l1：2x－y＋2＝0與l2：x＋2y－4＝0，點P(1, m)．

（Ⅰ）若點P到直線l1, l2的距離相等，求實數(shù)m的值；

（Ⅱ）當(dāng)m＝1時，已知直線l經(jīng)過點P且分別與l1, l2相交于A, B兩點，若P恰好

平分線段AB，求A, B兩點的坐標(biāo)及直線l的方程．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆浙江省高二期中理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

已知直線l1：2x－y＋2＝0與l2：x＋2y－4＝0，點P(1, m)．

（Ⅰ）若點P到直線l1, l2的距離相等，求實數(shù)m的值；

（Ⅱ）當(dāng)m＝1時，已知直線l經(jīng)過點P且分別與l1, l2相交于A, B兩點，若P恰好

平分線段AB，求A, B兩點的坐標(biāo)及直線l的方程．

 

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