ABC—A1B1C1是各條棱長均為a的正三棱柱，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn).

(1)求證：AB1D⊥平面ABB1A1；

(2)求點(diǎn)C到平面AB1D的距離；

(3)求平面AB1D與平面ABC所成二面角(銳角)的大小.

解：(1)取AB1中點(diǎn)M, 則

.

又,

兩式相加可得.

由于,

.

∴DM⊥AA1.又DM⊥AB,

∴DM⊥平面ABB1A1, 而DM平面AB1D.

∴平面AB1D⊥平面ABB1A1.

(2)一方面A1B⊥DM, 另一方面,

∴A1B⊥AB1.∴A1B⊥平面AB1D.

∴A1B是平面AB1D的法向量.

∴C點(diǎn)到平面AB1D的距離

.

(3)平面ABC的法向量為, 而平面AB1D的法向量是, 故所求二面角θ為

,

∴θ=45°.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在 DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF•EFcosDFE．拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱ABC-A1B1C1的3個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成二面角之間的關(guān)系式，并予以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA2⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，AC=BC=1，AA1=1．
（1）求證：CF∥平面AEB1；
（2）求三棱錐C-AB1E在底面AB1E上的高．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•閔行區(qū)二模）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=
π2
，AB=AC=2，AA1=6，點(diǎn)E、F分別在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．
（1）求三棱錐A1-B1C1F的體積；
（2）求異面直線BE與A1F所成的角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•南京二模）如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=
2
AA1，點(diǎn)D為A1C1的中點(diǎn)．
求證：
（1）BC1∥平面AB1D；
（2）A1C⊥平面AB1D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•崇文區(qū)二模）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=
3
AB，則異面直線A1B與CC1所成的角的大小是
30°
30°
．

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